§ 109. Распространение плоских волн в проводящих телах

Пусть проводимость однородного и изотропного вещества не равна нулю. При распространении электромагнитной волны в проводящем теле энергия волны будет постепенно переходить в теплоту — волна будет поглощаться. Поэтому чем больше проводимость тела, тем менее оно прозрачно.

Распространение плоских волн в проводящем теле описывается уравнениями (107.03). Так как

то (107.03) можно переписать аналогично (107.04), (107.05).

Здесь коэффициент заменен комплексным диэлектрическим коэффициентом

Из (109.02) вытекает условие совместности, определяющее волновое число

Отсюда следует, что есть комплексная величина. Положим

Чтобы определить физический смысл мнимой части волнового числа, подставим (109.05) в уравнение электрической составляющей волны

Получилась плоская волна с волновым вектором амплитуда которой убывает экспоненциально по мере распространения волны в веществе

Это значит, что волна постепенно поглощается.

Амплитуда магнитной составляющей согласно (109.02) также убывает экспоненциально

Подставив (109.05) в (109.04) и разделив вещественную и мнимую части, получим систему уравнений для определения

Положим

где -показатель преломления, а х - коэффициент поглощения. Тогда выражения (109.09) приводятся к виду

где - период колебаний волны. Решая эту систему, получим

В волновом числе выделим фазу

Магнитную составляющую волны согласно (109.08) можно написать в виде

Электрическая составляющая согласно (109.06) и (109.10) равна

Отсюда видно, что магнитное поле опережает по фазе электрическое на угол (рис. 51). При и разность фаз исчезает.

Рис. 51.

Для металлов (например, для меди поэтому для коротковолнового инфракрасного света (длина волны Значение в для металлов можно определить на основании их оптических свойств. Однако механизмы поляризации связанных зарядов для металлов и непроводников не могут существенно отличаться. Поэтому можно считать, что для металлов и непроводников — величины одного порядка. В таком случае для достаточно низких частот будет выполняться неравенство

тогда соотношения (109.12) и (109.13) упрощаются:

Для высоких частот (ультрафиолетовых и рентгеновских лучей) соотношение (109.16) становится неверным. В предельном случае оно принимает вид то есть проводимость вещества перестает играть роль. Возьмем отношение средних по времени значений

плотностей магнитной и электрической энергий; согласно (109.14), (109.15) и (109.12) получим

Это значит, что в изоляторе энергия магнитной составляющей равна энергии электрической составляющей. В металле при условии (109.16) почти вся энергия волны приходится на магнитную составляющую.

Для вычисления среднего по времени значения вектора Умова—Пойнтинга надо перемножить вещественные части (109.14) и (109.15) и усреднить по времени. Усреднение по времени дает множитель

поэтому получим

Отсюда следует, что интенсивность волны убываете раз при прохождении слоя вещества толщиной

Здесь — длина волны в вакууме. Для меди ) имеет место следующая зависимость глубины проникновения от

Эти числа используются при оценке толщины листового металла, необходимого для экранирования волн соответствующей длины.

Вследствие непрозрачности металла для определения их используется метод, основанный на отражении света от металлической поверхности. Уравнения (109.01) и (109.02) для волн в проводниках отличаются от соответствующих уравнений для волн в изоляторах лишь тем, что в них вместо действительных величин входят комплексные величины Поэтому соотношения, полученные в § 108, остаются в силе (физический смысл, конечно, изменяется).

Рассмотрим коэффициент отражения нормально падающей волны. Если для вещества то коэффициент отражения нормально падающей из вакуума волны может быть согласно (108.18) написан в форме

Здесь комплексный показатель преломления. В силу (109.04) и (109.05)

Поэтому

Согласно (109.17) для неферромагнитных металлов, если выполнено условие (109.16), имеем

В длинноволновой инфракрасной области спектра формула (109.24) подтверждена опытами Гагена и Рубенса (1903). Однако она оказывается неверной в области коротких волн, начиная с волн видимого света. Так, при (желтая линия натрия) для меди а экспериментальное значение оказывается равным 2,66. Для совпадения этих величин в области коротких волн нужно учитывать дисперсию .

Задачи

1. Проницаемость металла отлична от единицы. Показать, что коэффициент отражения волны при нормальном падении равен

Для доказательства надо воспользоваться граничными условиями (108.03) и соотношением (109.08).

2. Показать, что средняя энергия, теряемая волной на пути равна количеству теплоты, выделяющемуся на этом пути.

Решение. Согласно . В силу (109.19) средняя энергия, теряемая волной на пути х, равна

С другой стороны, количество теплоты, выделяющееся на единице площади слоя толщиной по (109.15) равно

что и требовалось доказать.