§ 113. Распространение электромагнитных волн в анизотропных телах

Анизотропные тела — кристаллы — характеризуются тем, что в них вектор электрической индукции не параллелен вектору напряженности поля а вектор магнитной индукции В не параллелен вектору Рассмотрим наиболее простой, но нередкий случай, когда и анизотропия сводится к электрической анизотропии: электрические свойства вещества определяются симметричным вещественным тензором диэлектрических коэффициентов

и составляющие векторов связаны соотношением

Для изотропного тела где единичный тензор.

Во всяком анизотропном теле существуют три направления, для которых вектор электрической индукции параллелен вектору электрического поля Эти направления называются главными осями тензора . С геометрической точки зрения тензор можно представить тензорным эллипсоидом. Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором Компонента тензора в этом направлении будет равна

где косинус угла между и осью Если ввести переменные

то соотношение (113.03) приведется к уравнению эллипсоида,

который называется эллипсоидом диэлектрических коэффициентов. Расстояние от точки взятой на поверхности эллипсоида, до центра О эллипсоида начала координат) равно

то есть обратно пропорционально квадратному корню из диэлектрического коэффициента в направлении Оси симметрии эллипсоида (113.05) являются главными осями тензора Действительно, если эллипсоид отнести к его осям симметрии как к осям координат, то его уравнение примет вид

где («главные компоненты тензора») согласно (113.06) суть обратные квадраты полуосей эллипсоида. В главных осях тензор (113.01) приводится к виду

Таким образом, если выбрать координатные оси, параллельные осям симметрии тензора (главным осям), то тензор приводится к диагональному виду (113.08). Соотношения (113.02) принимают вид

Штрихи в (113.09) опущены, так как в дальнейшем исследование проводится только в системе главных осей.

Распространение плоских гармонических волн в направлении (единичный вектор нормали к поверхности постоянной фазы) характеризуется согласно (107.03) уравнениями

где

Из (113.10) видно, что перпендикулярны к Вектор не перпендикулярен хотя и лежит в плоскости (рис. 55, а).

Рис. 55.

Только тогда, когда «световой вектор» совпадает с одним из главных направлений, вектор перпендикулярен к Исключив из (113.10) Ну получим

Уравнение (113.11) — основное уравнение, определяющее фазовую скорость распространения электромагнитных волн в анизотропной среде в зависимости от направления

Исследуем уравнение (113.11) для ряда чартных случаев.

1. Пусть вектор направлен по главной оси

Тогда (113.11) распадается на три уравнения:

Но

поэтому либо

то есть волны распространяются в направлении колебаний (продольные волны), либо

то есть волны распространяются в направлении, перпендикулярном к направлению колебаний вектора Если (продольные откуда либо (волны вообще нет), либо (что не имеет смысла). Это значит, что в анизотропной среде продольные волны распространяться не могут. Для поперечных волн в силу (113.12) получаем

то есть волны имеют ту фазовую скорость, которую они имели бы в изотропной среде с диэлектрическим коэффициентом соответствующим направлению колебаний Итак, скорость распространения волн определяется направлением колебаний вектора Тот же результат получается в случае колебаний, направленных по другим осям тензора

2. Пусть волны распространяются в направлении оси Тогда (113.11) дает

Из первого уравнения следует, что то есть вектор перпендикулярен к направлению распространения. Из двух других уравнений в силу (113.09) следует либо Это значит, когда волны распространяются в направлении (колебания вектора происходят в плоскости

возможны два случая: либо вектор направлен по и скорость распространения равна

либо вектор параллелен и тогда скорость распространения равна

Таким образом, в направлении главной оси могут распространяться лишь два волновых процесса: процесс со скоростью и с колебаниями светового вектора параллельными и процесс со скоростью и с колебаниями вектора параллельными Фазовая скорость распространения плоских волн определяется величиной в направлении вектора Колебания вектора параллельные одной из главных осей, могут распространяться по двум другим осям с одной и той же скоростью. Эти главные фазовые скорости распространения волн с вектором параллельным оси равны

3. Рассмотрим общий случай. Введем фазовую скорость распространения волн

Уравнение (113.11) принимает вид

Исследуем зависимость скорости распространения и от направления распространения Спроектируем (113.16) на ось Учитывая, что

получим

Последнее равенство умножим на и просуммируем по к от 1 до 3. После деления на получим

Учитывая, что имеем

Это есть уравнение Френеля, определяющее и как функцию от . Сумма может равняться нулю лишь тогда, когда члены имеют разные знаки. Без ущерба для общности рассуждений можно перенумеровать главные оси так, чтобы

Тогда корень и уравнения (113.17) будет лежать между их и а корень между

Когда направление распространения приближается к одному из главных направлений, фазовая скорость распространения приближается к одной из главных скоростей распространения (113.14). Рассмотрим зависимость фазовой скорости а от направления вектора вектор всегда перпендикулярен к направлению распространения фазы волны. Для всякого направления распространения существуют две скорости распространения, соответствующие двум взаимно перпендикулярным направлениям колебаний. Умножая (113.16) скалярно на и пользуясь тем, что получим

откуда, учитывая, что

находим

Легко видеть, что и зависит лишь от направления вектора Введем единичный вектор характеризующий направление колебаний

Тогда

Докажем, что колебания векторов способные распространяться в данном направлении соответственно со скоростями и

и взаимно перпендикулярны. Согласно (113.16) векторы и скорости удовлетворяют уравнениям

Умножим первое уравнение скалярно на а второе на а затем вычтем одно из другого. Учитывая, что получим

Правая часть равна нулю, так как

Но

поэтому

То есть колебания векторов взаимно перпендикулярны.

Итак, каждому направлению распространения соответствуют две скорости распространения, относящиеся к двум взаимно перпендикулярным направлениям колебаний вектора Иначе говоря, две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, распространяются в данном направлении с различными скоростями.

Можно сказать, что каждая составляющая вектора распространяется со свойственной ей скоростью и. Поэтому, рассматривая волну, распространяющуюся в направлении можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие лежащие в плоскости, перпендикулярной Каждая из составляющих будет распространяться со свойственной ей скоростью, определяемой формулой (113.20). Длины волн этих составляющих различные, поэтому в каждой точке среды составляющие будут иметь разность фаз. Складывая составляющие, получим эллиптически поляризованную волну (§ 42). Направление вращения поляризации будет зависеть от того, какая из составляющих имеет большую скорость распространения. Таким образом, если линейно-поляризованная волна падает нормально на плоскопараллельную анизотропную прозрачную пластинку, то плоскость поляризации прошедшей через пластинку волны будет повернута на некоторый угол относительно плоскости поляризации падающей волны.

Вектор в анизотропных телах, вообще говоря, образует с вектором угол (рис. 55, б). Введем единичный вектор, лежащий в плоскости но перпендикулярный к (угол между равен ).

Вектор нормальный к плоскости определяет направление лучей, соответствующих рассматриваемой волне. Следовательно, в анизотропной среде направление лучей и направление распространения волн не совпадают, но образуют (переменный) угол Если вдоль I поставить ряд диафрагм, то можно будет выделить луч, то есть, хотя плоскости волн перпендикулярны к направление их перемещения совпадает с Поток энергии в макроскопическом веществе определяется вектором (76.04),

и, следовательно, направление луча есть направление потока энергии. Скорость луча численно равна отрезку проходимому в единицу времени. Очевидно,

Все свойства лучей легко выводятся из свойств волн. Данному направлению луча соответствуют две скорости распространения каждая из которых соответствует одному из двух взаимно перпендикулярных векторов Преобразуем исходные уравнения (113.10) так, чтобы вместо и входили Умножим первое уравнение (113.10) на I векторно. Пользуясь тем, что — получим

или согласно (113.23)

Аналогично преобразуем и второе уравнение (113.10). В результате получаем систему уравнений

Система (113.24) эквивалентна системе (113.10). Сравнивая их, мы видим, что первая система получается из второй заменой

соответственно через Поэтому все следствия из (113.24) можно получить из следствий (113.10), произведя соответствующую замену. В силу (113.16) можно написать уравнение, определяющее лучевую скорость по и

Уравнение Френеля для волн (113.17) переходит в уравнение для лучей

Но параллельны, когда вектор направлен по одной из главных осей тензора Поэтому в главных направлениях и

Окончательно уравнение Френеля для лучей можно написать в форме

Это уравнение позволяет доказать, что лучевая скорость есть скорость группы волн. Действительно, так как то из (113.17) получим

Уравнение (113.28) дает зависимость от в неявной форме. Считая, что не зависят от со, можно вычислить составляющие групповой скорости показать, что они удовлетворяют уравнению (113.27). Тем самым доказывается, что

Чтобы определить зависимость лучевой скорости от направления вектора введем единичный вектор этого направления

Тогда из (113.18) будем иметь

откуда

Можно показать, что корням и уравнения (113.27) соответствуют два взаимно перпендикулярных колебания есть