§ 83. Диэлектрический шар в однородном поле

Предположим, что в неограниченной диэлектрической среде с коэффициентом имеется однородное электрическое поле направленное вдоль оси Определим, как изменится это поле, если в среду внести диэлектрический шар радиуса а с диэлектрическим коэффициентом Искомый потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа и на больших расстояниях от шара переходить в потенциал однородного поля

Внутри шара поле вызовет однородную поляризацию и останется однородным. Поэтому при а

(центр шара выбран за начало сферической системы координат, а направление поля — за полярную ось). Вне шара потенциал будет определяться потенциалом (83.01) и потенциалом связанного поверхностного заряда, соответствующего некоторому диполю с моментом т. е. при

Очевидно, удовлетворяют уравнению Лапласа.

Постоянные должны быть определены из граничных условий — условия непрерывности нормальной составляющей вектора индукции и условия непрерывности касательной составляющей напряженности. Из (83.02) и (83.03) для составляющих поля имеем

В силу симметрии азимутальная составляющая Из условия непрерывности при получаем

Откуда

Потенциал и напряженность поля даются выражениями:

Дипольный момент определяется связанным зарядом, возникшим на поверхности шара вследствие поляризации шара и окружающей среды. Радиальные составляющие векторов поляризации равны

откуда находим поверхностную плотность связанного заряда

Таким образом, одна половина шара получает положительный заряд, а другая — отрицательный.

Задачи

1. В неограниченном однородном диэлектрике создано однородное поле . В диэлектрике вырезана шаровая полость радиуса а. Определить напряженность поля в полости,

Решение. Полость можно рассматривать как диэлектрик Обозначим диэлектрический коэффициент среды через Пользуясь (83.05), получим

2. В неограниченном однородном диэлектрике создано однородное поле В диэлектрике вырезана цилиндрическая полость радиуса а с образующей параллельной полю. Определить напряженность поля на оси полости и рассмотреть случаи

Решение. Напряженность поля внутри полости складывается из напряженности и напряженностей полей, создаваемых поверхностными зарядами торцах цилиндра. Напряженность поля заряда в точке х определяется формулой (задача 3, § 27):

Напряженность поля заряда — в той же точке равна

Поэтому Если то Таким образом, в вытянутой полости действующая на пробный заряд сила равна Отношение — измеряет напряженность поля. В сплюснутой полости и отношение — измеряет индукцию.