§ 58. Естественная ширина спектральных линий

Во многих задачах реакцией излучения можно пренебречь. Однако в ряде случаев реакция излучения весьма существенна. Рассмотрим, например, вопрос о естественной ширине спектральных линий.

Простейшей моделью светового источника служит электрон, колеблющийся под влиянием квазиупругой силы . Если пренебречь реакцией излучения, то электрон будет колебаться гармонически с частотой Его излучение будет строго монохроматическим и иметь ту же частоту (§ 49). В силу наличия

тормозяшей силы излучения амплитуда колебаний вибратора постепенно убывает. Пусть и электрон движется вдоль оси z. Воспользуемся уравнением (57.10)

Физическое решение этого уравнение (§ 57) будем искать в форме

Характеристическое уравнение для определения со имеет вид

Уравнение (58.01) согласно (57.09) применимо при условии

Поэтому по (58.03) (о мало отличается от и с точностью до членов порядка получим

Следовательно,

то есть заряд совершает затухающее колебательное движение. Энергия его, усредненная по периоду равна

Энергия убывает со временем экспоненциально и уменьшается в раз за Так как по то время велико по сравнению с периодом. Это время можно назвать «временем жизни» возбужденного состояния вибратора. Заметим, что при сек, а сек. Таким образом, за время жизни испускается длин волн видимого света.

Закон изменения энергии вибратора (58.07) можно получить также на основании (50.03). Пренебрегая затуханием, имеем

откуда непосредственно следует (58.07).

Амплитуда колебаний напряженности поля, излучаемого вибратором, пропорциональна z. Поэтому со временем она убывает так же, как и амплитуда вибратора

Отсюда видно, что поле излучения представляет собой немонохроматическую группу волн (§ 43). Чтобы определить интенсивность отдельных монохроматических составляющих группы, разложим (58.08) в интеграл Фурье

где по (58.08)

Излучение электрона определяется вектором Умова-Пойнтинга

Среднее по времени значение вычисляется так же, как это сделано в § 48, и равно

Условие вещественности поля (§ 43) дает Поэтому

Подынтегральная функция дает искомое распределение интенсивности излучения по частотам. Пользуясь (58.10), получим

Множитель выбран так, что полная интенсивность излучения

Реакция излучения, таким образом, сказывается в том, что квазиупруго связанный электрон колеблется с затуханием и вместо бесконечно узкой (монохроматической) спектральной линии частоты испускает линию конечной ширины. Испускаемая линия имеет распределение интенсивности (58.12). При интенсивность

имеет максимум (рис. 30), равный Для со интенсивность равна половине своего максимального значения. Поэтому называется шириной спектральной линии. Следовательно, ширина спектральной линии равна обратной величине времени жизни возбужденного состояния.

Рис. 30.

Ширина спектральной линии, обусловленная реакцией излучения («естественная» ширина) и выраженная в длинах волн, постоянна, не зависит от частоты и по порядку величины равна классическому радиусу электрона:

Строгая теория излучения атомными электронами дается квантовой электродинамикой. Вычисления с классическим гармоническим вибратором дают лишь грубую картину явления. Однако форма спектральной линии (58.12) оказывается такой же и в квантовой теории, только величина у определяется вероятностью сооответствующего квантового перехода.