§ 132. Теплопроводность полупроводников. Экситоны

В полупроводниках теплопроводность х равна

где теплопроводность решетки, электронная теплопроводность. Обычно значительно меньше . В случае, когда число свободных электронов велико могут быть одного порядка.

Механизм электронной теплопроводности в полупроводниках сложнее, чем в металлах: наряду с обычным механизмом, рассмотренным в § 129 в области высоких температур, имеет место перенос энергии экситонами и электронно-дырочными парами.

Обычная электронная (или дырочная) теплопроводность полупроводника может быть вычислена с помощью формул (129.10) и (129.11), если в качестве взять распределение Максвелла — Больцмана (131.01). Вычисления, аналогичные проведенным выше, дают

Поэтому имеет место соотношение, аналогичное закону Видемана и Франца

Электронная теплопроводность имеет место в области примесной проводимости. При повышении температуры вблизи области собственной проводимости начинает играть роль экситонная проводимость.

Представление об экситонах введено Я. И. Френкелем (1931). В результате теплового возбуждения электрона в нормальной зоне появляется дырка, а в зоне проводимости — электрон. В металлах электрон и дырку можно рассматривать независимо друг от друга, так как в них избыток заряда нейтрализуется благодаря соответствующему изменению плотности электронов проводимости (экранирование). Следовательно, в металлах два заряда будут взаимодействовать только на очень малом расстоянии. В полупроводниках и изоляторах подобное экранирование не происходит. Поэтому два заряда будут взаимодействовать на значительно больших расстояниях

(это обстоятельство учитывалось в § 125, когда рассматривалась энергия примесных электронов). Поэтому должны существовать состояния, в которых электрон и дырка движутся не независимо друг от друга, а вращаясь один вокруг другого, образуют подобие водородного атома. Такую модель экситона предложил Мотт. Энергию экситона получим, если к энергии возбуждения добавим квантованную энергию системы двух зарядов, определяемую формулой Бора (117.02). Вследствие поляризации атомов надо взять вместо величину где оптический диэлектрический коэффициент вещества. Вводя вместо приведенную массу

получим

( главное квантовое число). В § 125 показано, что подобный метод рассмотрения допустим, если гопт достаточно велико. Из (132.03) вытекает существование экситонных уровней, расположенных в запрещенной зоне (ниже дна зоны проводимости). Существование этих уровней экспериментально доказано Гроссом. Для образования экситона необходима минимальная энергия

( энергия возбуждения свободных электронов и дырок). Экситон может передвигаться как целое с некоторым импульсом и кинетической энергией

Так как экситон нейтрален, то при его передвижении переносится лишь энергия, но не заряд. При наличии градиента температуры экситоны будут принимать участие в процессе теплопроводности. Они образуются преимущественно на горячем конце тела (при этом поглощается энергия и диффундируют к холодному. Там происходит рекомбинация электрона и дырки и выделяется энергия Так как то энергия, переносимая экситоном, значительно больше энергии, переносимой электроном или дыркой в области примесной проводимости. Согласно Пикусу коэффициент экситонной теплопроводности равен

где коэффициент диффузии экситонов, постоянная Больцмана, концентрация экситонов при данной температуре, равная

Коэффициент диффузии как показали А. И. Ансельм и Ю. А. Фирсов, близок к коэффициенту диффузии электронов и дырок и может быть значительно выше при равенстве их подвижностей.

При дальнейшем повышении температуры появляется теплопроводность, обусловленная свободными электронами в зоне и дырками в зоне . В области примесной проводимости, когда присутствуют одни электроны или одни дырки, поток этих носителей от горячего конца тела к холодному вызывает электрическое поле, уравновешивающее диффузию — устанавливается стационарное состояние, при котором через каждое сечение в обоих направлениях проходит одинаковое число носителей, но с разными кинетическими энергиями (§ 129). В области собственной проводимости число пар электрон — дырка, возникающих на горячем конце тела, будет больше, чем на холодном. В результате этого возникнет диффузия электронно-дырочных пар в направлении падения температуры. Диффузионный поток электронов вместе с дырками не переносит заряда и не создает противодействующего поля. Если подвижности и электронов и дырок различны, то более быстрые из них уходят при диффузии вперед и создают электрическое поле, которое действует на заряды так, что устанавливается одинаковая скорость их диффузии (биполярная диффузия). На горячем конце тела будет поглощаться энергия необходимая для создания пары электрон — дырка, а на холодном конце тела пары будут рекомбинировать и та же энергия будет выделяться. Переносимая парой энергия, как и в случае экситонов, значительно больше

В 1940 году Б. И. Давыдов и И. М. Шмушкевич показали, что электропроводность, определяемая биполярной диффузией пар, равна

где удельные электропроводности, создаваемые в отдельности дырками и электронами, показатель степени в выражении, дающем зависимость длины свободного пробега зарядов от энергии

Экспериментальные исследования, проведенные академиком А. Ф. Иоффе и его сотрудниками, показали, что изложенные соображения находятся в хорошем согласии с опытом. В области примесной проводимости хорошо соблюдается соотношение (132.02),

Вблизи области собственной проводимости теплопроводность начинает расти значительно быстрее электропроводности. В области собственной проводимости достигает значений много больших, чем следует из (132.02).