§ 86. Проводник в электрическом поле. Емкость

Рассмотрим незаряженный проводник произвольной формы в электрическом поле. При введении проводника в поле в проводнике возникает электрический ток с плотностью поле внутри проводника, приводящее к перераспределению свободного заряда и к установлению нового равновесия). В равновесном состоянии плотность тока в любой точке внутри проводника должна быть равна нулю. Поэтому и поле внутри проводника также равно нулю. Заметим, что микроскопическое поле зарядов атомов не исчезает; обращается в нуль лишь макроскопическое поле Равенство нулю поля обусловлено тем, что в результате перераспределения свободных зарядов (электронов проводимости) возникает добавочное поле, которое внутри проводника компенсирует внешнее поле. Перераспределение свободного заряда под действием внешнего поля называется электростатической индукцией.

Из следует, что вектор индукции внутри проводника также равен нулю. Следовательно, внутри проводника

Подобный результат был получен в § 73.

Так как то из следует, что (объем и поверхность проводника эквипотенциальны). Вне проводника потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа при граничном условии на поверхности о проводника

где потенциал проводника.

Распределение заряда на поверхности проводника определяется из граничного условия (79.07). Внутри проводника Снаружи проводника где производная берется по внешней нормали к поверхности проводника, диэлектрический коэффициент окружающей среды. Поэтому

Отсюда полный заряд проводника

(интегрирование производится по всей поверхности проводника).

Рассмотрим уединенный заряженный до потенциала V проводник. Потенциал вне проводника удовлетворяет уравнению Лапласа и граничному условию (86.02). Кроме того, должно быть

При условиях (86.02) и (86.05) решением уравнения Лапласа будет

где безразмерная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, условию (86.05) и граничному условию на поверхности проводника

Подставим (86.06) в (86.04); получим

где

Множитель С называется емкостью уединенного проводника. Если проводник находится в вакууме то его емкость

зависит только от размеров и формы проводника и имеет размерность длины. Проводник, погруженный в среду с диэлектрическим коэффициентом з, имеет емкость в раз большую.

Рассмотрим замкнутую полость внутри проводника. Если в полости нет зарядов, то потенциал в ней будет удовлетворять уравнению Лапласа. На границе полости потенциал должен иметь значение потенциала проводника V, поэтому и во всей полости потенциал будет равен Если поддерживать потенциал проводника постоянным (например, равным нулю), то изменения поля вне проводника не будут

влиять на потенциал в полости. На внутренней поверхности проводника плотность заряда равна нулю, так как поле в проводнике и в полости равно нулю.

Задачи

1. Определить емкость шара радиуса а.

Решение. Потенциал удовлетворяющий уравнению и условиям (86.07) и (86.05), имеет вид (начало координат взято в центре шара). Тогда

Следовательно,

2. Определить емкость вытянутого эллипсоида вращения с полуосями

Решение. В задаче 4 § 27 показано, что заряд распределенный равномерно на отрезке длиной образует поле, эквипотенциальные поверхности которого суть вытянутые эллипсоиды вращения. Если эквипотенциальную поверхность с полуосями заполнить металлом, то распределение потенциала не изменится. Поэтому на поверхности эллипсоида потенциал равен

Так как с — линейный эксцентриситет, большая полуось, то . С другой стороны,

Поэтому

3. Доказать, что при емкость полученная в предыдущей задаче, переходит в емкость шара

4. Определить емкость цилиндрического провода длиной Радиус провода равен

Решение. Цилиндрический провод можно рассматривать как эллипсоид вращения, для которого а Тогда

и

5. Металлический шар радиуса а введен в однородное электрическое поле напряженностью Определить поле и распределение индукционного заряда на поверхности шара.

Решение. В электростатике незаряженный проводник можно рассматривать как вещество с Поэтому, полагая в (83.05) и (диэлектрический коэффициент среды), получим