§ 88. Система двух проводников. Индукционные и потенциальные коэффициенты

Рассмотрим систему двух изолированных проводников произвольной формы и размеров, окруженных диэлектриком. Пусть первый проводник заряжен до потенциала а второй — до потенциала

Потенциал вне проводников будет удовлетворять уравнению Лапласа и граничным условиям

Допустим, что найдены два вспомогательных безразмерных потенциала удовлетворяющих уравнению Лапласа и граничным условиям

Тогда искомый потенциал можно написать в форме

Потенциал (88.03) удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям (88.01) в силу условий (88.02).

Плотность свободного заряда на поверхности первого проводника согласно (86.03) равна

где — внешняя нормаль к поверхности первого проводника. Аналогично получим плотность заряда на поверхности второго проводника. Интегрируя теперь по поверхности первого проводника и по поверхности второго проводника, получим

Соотношения (88.05) обобщают (86.08); коэффициенты

называются емкостными коэффициентами проводников. Коэффициенты

называются индукционными коэффициентами.

Выясним физический смысл коэффициентов. Предположим, что потенциал первого проводника а второго Тогда (88.05) принимает вид

Таким образом, коэффициент емкости численно равен заряду первого проводника, если его потенциал равен единице, а потенциал второго проводника равен нулю. Коэффициент индукции численно равен заряду, появляющемуся на поверхности второго проводника, если потенциал первого проводника равен единице, а второго — нулю. Коэффициент определяет индукционное действие первого проводника на второй. Аналогично есть коэффициент емкости второго проводника, а коэффициент индукции второго проводника на первый. положительны.

Докажем, что

В формуле Грина

произведем интегрирование по всему объему вне проводников. Тогда интегрирование по поверхности о производится по бесконечно удаленной поверхности и по поверхностям проводников. Положим тогда и объемный интеграл обращается в нуль. Поверхностный интеграл, в силу граничных условий, будет

В силу определений (88.06) и

Решая систему (88.05) относительно потенциалов проводников и получим

Коэффициенты

называются потенциальными коэффициентами (предполагается, что определитель Из (88.09) видно, что каждый из потенциалов и зависит от зарядов Так как то Это значит, что если заряд создает на втором незаряженном проводнике потенциал то и заряд создает на первом незаряженном проводнике потенциал

Рассмотрим знаки коэффициентов Заметим, что в среде, где нет объемного заряда, потенциал не может иметь экстремума. Действительно, точка, в которой имеет минимум (или максимум), со всех сторон окружена областью, где падение потенциала направлено к ней или от нее. Следовательно, в этой точке сходятся линии сил и в ней находится отрицательный (положительный) заряд, что противоречит условию. Если первый проводник имеет заряд то изолированный и лишенный заряда второй проводник должен иметь меньший, но положительный потенциал, так как от поверхности первого проводника потенциал может лишь убывать и обращаться в нуль на бесконечности. Поэтому Но при Следовательно,

Аналогично доказывается, что Поэтому определитель

Решая уравнение (88.09) относительно находим

Из (88.12) и (88.11) следует, что то есть индуцированный заряд всегда имеет знак, противоположный знаку индуцирующего.

Полученные результаты легко обобщаются на систему любого числа проводников. Обозначая заряд и потенциал проводника через и получим

где — нормаль к поверхности проводника безразмерный потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа и граничным условиям, аналогичным условиям (88.02).

Задача

Два проводника с емкостями помещены на расстоянии друг от друга в среде сдиэлектрическим коэффициентом Предполагая, что велико по сравнению с размерами проводников, определить коэффициенты

Решение. Если то приближенно Потенциал, создаваемый первым проводником на расстоянии равен Такой же потенциал будет иметь второй проводник, если пренебречь его поляризацией и изменением поля вдоль него. С другой стороны, если то приближенно потенциал второго проводника будет а потенциал первого — Приближенные выражения потенциалов проводников при равны

то

Отсюда по (88.12)