§ 108. Отражение и преломление волн на границе разгдела двух изоляторов. Формулы Френеля

Рассмотрим прохождение плоской монохроматической линейно-поляризованной электромагнитной волны через границу раздела двух изотропных изоляторов. Будем считать, что для изоляторов но Выберем ось z в направлении нормали к плоской границе раздела, проведенной из среды 1 в среду 2. На рисунке 49 изображена плоскость падения волны — плоскость проходящая через направление нормали к границе раздела и волновой вектор падающей волны. На границе раздела появляется преломленная волна, характеризуемая волновым вектором и отраженная волна, характеризуемая волновым вектором Векторы лежат в плоскости падения и образуют с осью z соответственно углы и (3. Иногда вместо угла вводят угол отражения

Согласно (107.06) и (107.07) фазовый множитель волны равен

Фазовые множители падающей, отраженной и преломленной волн можно написать в форме

где скорости распространения волн в первой и второй среде

Рис. 49.

На границе раздела электромагнитное поле должно удовлетворять граничным условиям (75.06). Поле в среде 1 равно векторной сумме полей падающей и отраженной волн, а поле в среде 2 определяется только преломленной волной. Допустим, что поверхностных свободных зарядов и токов нет, а Тогда граничные условия можно написать в форме:

Для выполнения граничных условий необходимо, чтобы на границе фазы волн и равнялись друг другу в любой момент времени. Это дает соотношение

Так как то отсюда следует, что то есть угол отражения равен углу падения. Кроме того, из (108.04) вытекает соотношение

Здесь есть показатель преломления второй среды относительно первой. Если первая среда вакуум то

есть показатель преломления второй среды.

Если то Соотношение (108.06) хорошо выполняется для тел, электрическая поляризация которых определяется только упругими смещениями электронов. Например, для газов Больцман получил следующие результаты:

Для недипольных жидкостей соотношение (109.06) также согласуется с опытом. Например, для бензола Однако для многих веществ, например для веществ, обладающих дипольными молекулами, соотношение (108.06) не выполняется, если под понимать диэлектрический коэффициент, измеренный в статических или квазистационарных полях. Так, для воды Объясняется это зависимостью от частоты поля (дисперсией), вследствие чего статическое значение существенно отличается от динамического при больших частотах. Соотношение Максвелла (108.06) оправдывается, если под понимать динамическое значение диэлектрического коэффициента (гл. VIII).

Вернемся к вопросу отражения и преломления света. На границе раздела фазовые множители для всех волн одинаковы. Поэтому граничные условия можно писать сразу для амплитуд падающей, отраженной и преломленной волн, которые обозначим через и . Амплитуды магнитных составляющих будут выражаться через амплитуды электрических составляющих формулами (107,09).

Рассмотрим два случая: 1) вектор электрического поля падающей волны (световой вектор) лежит в плоскости падения (падающая волна поляризована перпендикулярно плоскости падения), 2) вектор электрического поля падающей волны перпендикулярен к плоскости падения (волна поляризована в плоскости падения).

В первом случае магнитные поля имеют составляющие только по оси у, поэтому касательные составляющие соответственно равны (рис. 49)

Граничные условия (108.03) принимают вид

Последнее равенство получается из соотношения

если принять во внимание (108.05). Уравнения (108.08) позволяют выразить амплитуды отраженной и преломленной волн через амплитуду падающей волны

Амплитуды магнитных составляющих получаются из (108.07).

Аналогично рассматривается второй случай, когда световой вектор перпендикулярен к плоскости падения, а вектор магнитного поля лежит в плоскости падения (на рисунке 49 эти векторы заключены в скобки). Составляющие вектора равны

Электрические составляющие согласно (108.09) равны

Граничные условия (108.03) при учете (108.05) принимают вид

откуда

Электрические напряженности вычисляются по формулам (108.11) и равны

Заметим, что по (108.05)

Если среда 2 оптически более плотная, нежели среда то для всякого угла падения а существует действительный угол преломления. Если то при не существует вещественных удовлетворяющих соотношению (108.15), и возникает полное отражение. При вещественных из (108.09) и (108.14) следует, что амплитуды и отраженной и преломленной волн всегда вещественны, если вещественно. Поэтому фазы преломленной и отраженной волн либо совпадают с фазой падающей, либо отличаются на Легко видеть, что преломленная волна совпадает по фазе с падающей.

Если вторая среда оптически более плотная и вектор падающей волны перпендикулярен к плоскости падения, то и из (108.14) следует, что отраженная волна отличается по фазе от падающей на Если и вектор падающей волны лежит в плоскости падения, то согласно (108.09) и одного знака. Но из (108.07) видно, что проекции на ось х имеют разные знаки. Следовательно, волна испытывает скачок по фазе на При скачка по фазе не будет.

Если вторая среда оптически менее плотна, чем первая, и вектор перпендикулярен к плоскости падения, то скачка фазы нет, если же вектор лежит в плоскости падения, то фаза не меняется при и изменяется на а

Для характеристики отражения обычно вводится коэффициент отражения, равный отношению интенсивности отраженного пучка к интенсивности падающего,

Обозначим через коэффициенты отражения волн, векторы которых лежат соответственно в плоскости падения и перпендикулярно к ней. Согласно (108.14) и (108.09) получим формулы Френеля

Отсюда видно, что коэффициенты отражения симметричны относительно углов и поэтому не зависят от того, падают ли волны на границу раздела из первой среды во вторую или наоборот.

Рассмотрим поведение коэффициентов отражения при увеличении угла падения а от до у. Так как то при угол также равняется нулю. Выражения (108.17) принимают неопределенное значение вида

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим

так как Тот же результат получается для

Поэтому

При увеличении угла падения монотонно увеличивается (рис. 50) от значения (108.18) до при Совсем иначе ведет себя коэффициент отражения волны, вектор которой параллелен плоскости падения. Как видно из (108.17), при коэффициент обращается в нуль. Подставим в (108.05); находим, что исчезает, если угол падения а удовлетворяет условию

Рис. 50.

Угол падения называется углом полной поляризации, или углом Брюстера. Легко видеть, что в случае падения под углом луч отраженный и луч преломленный взаимно перпендикулярны. При дальнейшем увеличении угла падения возрастает и при а — равняется единице. При падении под углом Брюстера падающая волна целиком переходит во вторую среду. В общем случае доля энергии, переходящей во вторую среду, определяется величиной

которая называется коэффициентом прохождения или прозрачностью.

Закон Брюстера можно наглядно пояснить, если рассмотреть колебания электронов во второй среде под действием электрического поля преломленной волны. Колебания электронов возбуждают на поверхности раздела вторичную волну, возвращающуюся в первую среду (волна отраженная). В § 47 было показано, что колеблющийся диполь наиболее интенсивно излучает в плоскости, перпендикулярной к направлению колебаний, а в направлении колебаний излучения нет. При падении волны под углом Брюстера отраженный луч должен быть перпендикулярен к преломленному. Если вектор электрического

поля колеблется в плоскости падения, то отраженная волна должна была бы излучаться в направлении колебаний электронов, в котором излучения не может быть.

Пусть на границу раздела падает неполяризованная волна (естественный свет). Разложим вектор электрического поля на составляющие и Степень поляризации отраженного света можно определить величиной

При нормальном падении то есть отраженный свет остается неполяризованным. По мере увеличения угла падения растет и при (так как то есть отраженный свет полностью поляризован (вектор перпендикулярен к плоскости падения). При дальнейшем увеличении а поляризация уменьшается и равняется нулю при

Поляризация преломленного луча определяется отношением

Поляризация равна нулю при а При достигает максимального значения. Так как то то есть проходящий луч поляризован так, что колебания происходят преимущественно в плоскости падения.

В заключение рассмотрим полное отражение, когда Предельный угол полного отражения определяется из условия Если то

есть мнимая величина. Положим и рассмотрим фазовый множитель волны во второй среде. Согласно (108.01)

Отсюда следует, что в направлении х, касательном к границе раздела, периодичность волны сохраняется, а в направлении оси z (в глубь среды 2) амплитуда волны экспоненциально убывает, уменьшаясь в раз на пути

( длина волны во второй среде). При

что для видимого света дает , то есть свет практически не проникает во вторую среду. Из формул Френеля следует, что при есть комплексные числа, но модули равны единице и интенсивность отраженной волны равна интенсивности падающей.

Задачи

1. Показать, что коэффициенты прохождения плоских поляризованных волн через границу раздела определяются формулами

Для доказательства использовать (108.17) и (108.20).

2. Определить коэффициент отражения линейно-поляризованного света, у которого вектор образует угол с нормалью к плоскости падения.

Решение. Параллельная и перпендикулярная составляющие светового вектора равны Поэтому соответствующие интенсивности равны интенсивность падающего пучка). Полная интенсивность отраженного пучка

Коэффициент отражения равен

3. Определить коэффициент отражения естественного света. Решение. Естественный свет можно рассматривать как поляризованный с нерегулярно колеблющейся поляризацией. Поэтому усредним коэффициент отражения, полученный в задаче 2 по всем углам замечая, что получим