§ 35. Магнитное поле стационарного тока

Вычислим напряженность магнитного поля тока. В силу (34.03) и (34.07) имеем

Но

Поэтому

Формула (35.01) выражает закон Био и Савара. Ее можно истолковать как выражение принципа суперпозиции поля: магнитное поле некоторого объемно распределенного стационарного тока может быть получено путем векторного сложения элементарных полей

создаваемых элементами тока Уравнение (35.02) можно рассматривать как следствие выражения для магнитного поля медленно движущегося точечного заряда (§ 7).

Задачи

1. Определить векторный потенциал однородного магнитного поля

Рис. 19.

Решение. Так как то можно положить Тогда

2. Определить векторный потенциал, создаваемый прямолинейным отрезком линейного тока I длиной ,

Решение. Выберем начало координат в центре отрезка, а ось направим вдоль отрезка. Согласно (34.08) получим в точке (рис. 19)

3. Определить магнитное поле бесконечного прямолинейного тока силой

Решение. Используем выражение для потенциала из предыдущей задачи. В нем положить сразу нельзя, так как тогда потенциал получается бесконечно большим (ср. аналогичную задачу электростатики, § 28). Поэтому сначала вычислим напряженность, а затем перейдем к пределу

Для бесконечного тока потенциал не должен зависеть от z. Поэтому положим Тогда будет зависеть только от В цилиндрических координатах имеем

При больших Следовательно,

так что

Отсюда

При переходе к результат не меняется (ср. с результатом, найденным в задаче 1, § 9).

4. Определить векторный потенциал и напряженность магнитного поля внутри и вне бесконечного прямолинейного цилиндра радиуса а. По цилиндру идет ток с плотностью

Решение. Выберем ось цилиндра за полярную ось. Уравнение (34.06) напишем в цилиндрических координатах

Поле цилиндрического однородного тока цилиндрически симметрично и зависит только от Поэтому

и решения для внутренней и внешней областей будут

На оси тока потенциал должен быть конечным, поэтому Так как цилиндр бесконечен, считать при нельзя. Используя условия непрерывности при а, получим

(знание не существенно). Выражение для А совпадает с полученным в задаче 3. Из выражения для А получаем напряженность поля внутри цилиндра