§ 118. Квантовая статистика Ферми

Вычисление тока проводимости и электрической и магнитной поляризаций (по 117.01) требует усреднения по макроскопически малому объему и макроскопически малому промежутку времени. Такое усреднение часто сводится к усреднению по всем возможным состояниям, в которых могут находиться рассматриваемые заряженные частицы, и осуществляется статистическими методами.

Рассмотрим систему одинаковых частиц, движущихся свободно внутри некоторого объема Обозначим через значения энергий, которыми может обладать каждая из частиц. Допустим, что энергии образуют дискретный ряд. При данной энергии частица может иметь различные направления импульса и спина. Поэтому энергии будет соответствовать, вообще говоря, некоторое число различных состояний. Число различных состояний, обладающих одной и той же энергией называется степенью вырождения (кратностью) уровня

Обозначим число частиц, находящихся на уровне через Числа суть числа распределения (§ 63). В результате столкновений между частицами устанавливается некоторое равновесное стационарное распределение. Пусть сталкиваются частицы в состояниях В результате столкновения частицы переходят в состояния Число таких столкновений пропорционально произведению чисел и сталкивающихся частиц. Если частицы подчиняются принципу Паули (§ 117), то переход в состояния возможен только в том случае, если в этих состояниях есть свободные места. Пусть в состояниях имеется частиц. Число свободных мест в этих состояниях равно соответственно Поэтому число переходов в единицу времени можно написать в форме

где вероятность перехода.

Число обратных переходов равно

В квантовой теории доказывается, что вероятности прямых и обратных переходов одинаковы, то есть

При равновесии числа прямых и обратных переходов равны

Отсюда в связи с равенством получим

или

Равенство (118.01) показывает, что величина есть аддитивный интеграл движения: сумма таких величин сохраняется при столкновении частиц. Но аддитивные механические интегралы движения — это энергия, импульс и момент импульса. Поэтому может быть линейной функцией только от этих интегралов движения. Самым общим интегралом движения является энергия. При столкновении поэтому следует положить где не зависящие от постоянные. Отсюда

Формула (118.02) выражает равновесное квантовое распределение Ферми и характеризует распределение по состояниям частиц, подчиняющихся принципу Паули.

Постоянные могут быть определены, если задано полное число частиц и полная энергия газа

(суммирование производится по всем возможным состояниям ). Если то единицей в знаменателе (118.02) можно пренебречь и (118.02) превращается в формулу Максвелла — Больцмана

Распределение Максвелла — Больцмана для дискретных состояний пишут обычно в форме

где абсолютная температура, постоянная Больцмана и С — химический потенциал (изобарно-изотермический потенциал Гиббса, отнесенный к одной частице). Сравнивая

эти два выражения, получаем Распределение Ферми (118.02) принимает вид

Потенциал С называют энергией (уровнем) Ферми.

Рассмотрим распределение Ферми при абсолютном нуле температуры. Так как в каждом невырожденном состоянии (§ 117) может находиться только одна частица, то частиц займут состояний с наинизшей энергией. Более высокие энергетические состояния будут пустыми. Действительно, при из (118.06) находим, что число частиц, приходящихся на одно невырожденное состояние, равно

Здесь значение потенциала (уровня Ферми) при Оно может быть определено из условия

График распределения Ферми при дан на рисунке 62 (сплошная линия). При повышении температуры некоторые частицы переходят в состояния с большей энергией. Вертикальный спад кривой заменяется плавным (пунктир). Область плавного перехода (размытость границы) порядка

Рис. 62.

Чтобы определить надо знать выражение для числа состояний с энергией В классической статистике для свободно движущихся в объеме V частиц интервал состояний определяется интервалом составляющих импульса

В квантовой теории импульс не может меняться произвольно. Если частица локализована в некотором интервале координаты х, то соответствующий частице пакет волн де-Бройля будет слагаться из волн, для которых согласно (43,10) волновые числа лежат в интервале Тогда в силу (63.01) импульс будет лежать в интервале Это значит, что наименьший интервал состояний определяется из условия или из условия

Поэтому в фазовом пространстве одной частицы на одно квантовое невырожденное состояние приходится объем Так как частица со спином при импульсе может находиться в одном из состояний, отличающихся проекцией спина на данное направление, то для полного числа состояний свободной частицы в интервале фазового пространства получаем

Заметим, что для электронов

В случае сферической симметрии элемент объема пространства импульсов можно взять в виде объема сферического слоя Кроме того, импульс можно выразить через кинетическую энергию: Тогда

Вычислим химический потенциал С в двух предельных случаях — при абсолютном нуле и при высокой температуре. Согласно (118.08) и (118.10) максимальный импульс частиц (например, электронов) газа при определится из условия

где полное число частиц в объеме Поэтому и максимальная кинетическая энергия при равны

где плотность частиц газа.

При достаточно высокой температуре распределение Ферми переходит в распределение Максвелла — Вольцмана (118.05). В силу условия нормировки (118.03) и (118.10) имеем

так как

Отсюда

Распределение Максвелла — Больцмана (118.05) имеет место при условии

Если

то справедливо распределение Ферми. В этом случае говорят о вырожденном газе. Из (118.15) видно, что газ будет вырожденным при низких температурах и высоких плотностях.

Можно ввести температуру вырождения или температуру Ферми. Определим ее условием

Если то газ будет вырожденным; если то газ невырожденный. Согласно (118.12) для электронного газа имеем

В области вырождения отклонение функции распределения от прямоугольной формы (рис. 62) мало и С остается близким к Тогда можно получить разложение по степеням Рассмотрим интеграл

где некоторая функция, обращающаяся в нуль при функция распределения Ферми (118.06). Проинтегрируем (118.17) по частям. Так как исчезает на обоих пределах получим

Заметим, что имеет острый максимум в области (рис. 62, пунктирная кривая). При можно рассматривать как -функцию,

Разложим в ряд по степеням

Тогда

При низких температурах нижний предел в можно заменить через — Тогда и все с нечетным исчезают, так как есть четная функция от Вводя находим

Окончательно,

Для вычисления С рассмотрим условие нормировки (118.04). Согласно (118.10) можно положить

Тогда в силу (118.19)

Вычитая отсюда (значение при ), получим

или приближенно

Пользуясь выражением для из (118.20), находим

где определяется формулой (118.12).

Задача

Определить среднюю энергию электронного газа при с точностью до включительно.

Решение. Полная энергия равна

Введем Тогда по формулам (118.19) и (118.10) получим

В последнем члене можно заменить через так как нас интересует разложение лишь до включительно. При

Поэтому согласно (118.24)

С другой стороны, из (118.10), (118.11) и (118.12) имеем

Энергия равна

Средняя энергия на одну частицу равна