§ 126. Распределение равновесных носителей в примесных полупроводниках

Рассмотрим равновесное распределение электронов и дырок в примесном полупроводнике. Обозначим через и объемные концентрации доноров и акцепторов. Если концентрация примесей мала по сравнению с концентрацией атомов основного вещества, то примесные уровни будут изолированными (локализованными). При больших концентрациях примесей их уровни образуют примесные зоны.

Возьмем полупроводник с относительно малой концентрацией примесей и обозначим через и соответственно энергии донорных и акцепторных уровней, а через и степени их вырождения, Для -состояний На примесном уровне не может быть больше одного электрона вследствие отталкивания электронов. Поэтому концентрации электронов на донорных и акцепторных уровнях при температуре выражаются формулами

число дырок на донорных уровнях равно

(С — химический потенциал электронов). Обозначим концентрацию дырок в нормальной зоне а концентрацию электронов в зоне проводимости через Условие нейтральности можно написать в форме

которое в силу (124.04), (126.01) и (126.02) принимает вид

Это уравнение для определения химического потенциала С из-за его сложности нельзя проанализировать в общем виде. Поэтому рассмотрим несколько предельных случаев. Заметим, что при получается рассмотренный в § 124 случай собственного полупроводника.

Как и в § 124, заменим допустим, что уровень химического потенциала С лежит в запрещенной зоне так, что

(то есть электронный газ в -зоне и дырочный газ в -зоне предполагаются невырожденными). Тогда в силу (124.09) получим

Это уравнение все же слишком сложно для общего анализа. Поэтому рассмотрим отдельно полупроводники электронные (-типа) и дырочные -типа).

Электронные полупроводники. Допустим, что акцепторных уровней нет и температура недостаточно высока для того, чтобы электроны в заметном числе переходили из -зоны в зону проводимости [то есть С — настолько больше что

первым членом с в (126.06) можно пренебречь]. Тогда (126.06) приводится к квадратному уравнению, из которого получаем

Рассмотрим предельные случаи для различных интервалов температур:

а) в области низких температур

Тогда, пренебрегая единицами под знаком логарифма, имеем

Отсюда видно, что при уровень химического потенциала проходит точно посередине между дном зоны проводимости и локальными донорными уровнями. При низких температурах, пока второй член правой части (126.09) положителен, а с увеличением он меняет знак. Поэтому уровень С сначала поднимается выше а затем опускается ниже (рис. 69, а).

Рис. 69.

Концентрация свободных электронов в зоне проводимости меняется экспоненциально

где расстояние дна зоны проводимости от донорного уровня. Так как концентрация меняется от

(при меньших концентрациях значительно большую роль будет играть переход электронов из -зоны) до то при данной температуре а следовательно, и электропроводность может изменяться в раз (для кремния даже в раз).

Распределение электронов в зоне проводимости по энергии — максвелловское, то есть

б) в области относительно высоких температур (но таких, что влиянием -зоны по-прежнему можно пренебречь)

Поэтому, разлагая корень в (126.07) в ряд, получим

Из условия (126.12) следует, что

Поэтому при таких температурах уровень С лежит значительно ниже донорных уровней и почти все электроны перейдут с донорных уровней в зону проводимости, то есть

В этих случаях практически не зависит от температуры.

При дальнейшем повышении температуры основную роль будет играть возбуждение электронов из нормальной зоны и химический потенциал С будет стремиться к значению, определяемому формулой (124.13).

Дырочные полупроводники. Положим в Пусть температура настолько мала, что переходов в -зону нет тогда получим

Поэтому в области низких температур, при которых

уровень химического потенциала

проходит примерно посередине между верхним краем нормальной зоны и акцепторными уровнями. Концентрация дырок меняется экспоненциально

где расстояние акцепторных уровней от потолка нормальной зоны (энергия возбуждения акцепторов), определяется формулой (124.12). Распределение дырок по энергиям — максвелловское. Ход химического потенциала с повышением изображен на рисунке При температурах, удовлетворяющих неравенству поднимается выше уровней акцепторов и последние почти целиком заполняются электронами, концентрация дырок в зоне делается постоянной, равной

При дальнейшем увеличении 7, как и для электронного полупроводника, основную роль начинают играть переходы электронов из нормальной зоны в зону проводимости (если и химический потенциал стремится к значению (124.13).

Амфотерные полупроводники. В амфотерном полупроводнике имеются как примеси акцепторы, так и примеси доноры, причем Если то при электроны переходят с донорных уровней на акцепторные и заполняют их (так как равновесным состоянием является состояние с минимумом энергии). Следовательно, остается доноров, содержащих электроны. Такое тело при повышении температуры будет вести себя как электронный полупроводник с концентрацией доноров, зависящей от температуры. Если то при останутся свободные акцепторные уровни и при повышении температуры тело будет вести себя как дырочный полупроводник.

Все вышеприведенные рассуждения велись в предположении, что положения уровней не зависят от температуры. В действительности положения этих уровней несколько меняются с температурой, так как с увеличением 7 изменяется амплитуда тепловых колебаний атомов и изменяются межатомные расстояния (постоянная решетки). Первый эффект вызывает расширение разрешенных зон (повышение потолка и понижение дна) с ростом температуры, второй эффект может приводить к изменению в любую сторону в зависимости от конкретного хода границ зон. Из рисунка 67 видно, что малое увеличение постоянной решетки в кристалле

ведет к сужению зон, причем увеличивается» остается практически неизменной.

Для иллюстрации изложенного рассмотрим германий, у которого ширина запрещенной зоны При 7300° концентрация электронов и дырок согласно (124.14) равна Так как энергия активации большинства химических примесей в германии не превышает то при этой температуре все примесные атомы ионизированы и концентрация электронов (или дырок) равна Поэтому при концентрации примеси (что составляет 0,001% от концентрации атомов германия), такой же будет и концентрация носителей. Это в 25 000 раз превышает концентрацию (2.1013) собственных носителей, следовательно, проводимость будет определяться исключительно примесями.