§ 31. Энергия системы зарядов

Энергию системы зарядов можно определить, исходя из представления об энергии поля. Энергия поля системы зарядов, согласно (14.01) и (14.05) (магнитное поле отсутствует), равна

где интегрирование производится по всему полю, то есть по бесконечному пространству. Если система состоит из двух частей 1 и 2, создающих в данной точке напряженности то и энергия

где

Предполагается, что части 1 и 2 не деформируемы и поле каждой из них не меняется от наличия другого заряда. Энергии зависят только от свойств частей 1 и 2 и называются собственными энергиями этих частей. Энергия зависит от обеих частей и называется их взаимной энергией. В отличие от собственной энергии, которая, очевидно, всегда положительна, взаимная энергия может быть отрицательной, так как

Энергия есть собственная энергия всей системы зарядов. Из (31.02) видно, что собственная энергия системы складывается из собственных энергий ее частей и их взаимной энергии. Взаимная энергия должна зависеть от взаимного расположения частей системы и поэтому является их взаимной потенциальной энергией.

Приведем (31.01) к виду, явно содержащему заряды. Подставляя получим

Второй интеграл по формуле Остроградского равен интегралу от Епср по бесконечно удаленной поверхности, ограничивающей поле, на которой произведение обращается в нуль. Поэтому интеграл равен нулю. В первый интеграл подставим тогда энергия системы зарядов примет вид

Интегрирование (31.04) можно проводить только по объему V, внутри которого не равно нулю.

Выражение (31.04) может быть получено также вычислением работы, затрачиваемой на создание системы зарядов. Будем создавать данное распределение зарядов, подводя заряды из бесконечности.

Пусть в некоторый момент плотность заряда равна где окончательная плотность и Тогда согласно (27.06) потенциал в данной точке будет равен где окончательный потенциал. Подведем бесконечно малый заряд и распределим его в системе с плотностью Из (26.03) работа, которую производят внешние силы против сил поля при переносе заряда из бесконечности в точку с потенциалом равна В нашем случае заряд переносится в разные точки и распределяется по объему, так что

где X меняется от до 1. Поэтому, интегрируя по X от до получим полную работу заряжения

которая, очевидно, равна электростатической энергии системы.

Этот вывод создает впечатление, что энергия системы зарядов локализована на зарядах. Однако энергию надо связывать не с зарядами, а с полем. В рамках электростатики оба представления правомерны. Перенос энергии полем показывает, что второе представление ближе к истине.

Для системы точечных зарядов Подставив это в (31.04), получим

где полный потенциал, создаваемый системой в точке, занимаемой зарядом с индексом а. Он равен

где расстояние между зарядами (суммирование производится по всем зарядам, кроме -того), потенциал, создаваемый самим зарядом

Поскольку заряд точечный, потенциал бесконечно велик. Поэтому подстановка (31.06) в (31.05) позволяет разложить на бесконечную (но постоянную) собственную энергию зарядов и их взаимную (потенциальную) энергию зависящую от конфигурации системы. Последняя равна

В частности, энергия взаимодействия двух зарядов равна

Так как заряды могут иметь разные знаки, то взаимная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Появление бесконечной собственной энергии показывает, что представление о точечных зарядах имеет определенные границы применимости.

Задачи

1. Определить собственную энергию шара радиуса а, равномерно заряженного по объему с плотностью

Решение. Выберем в качестве элемента объем шарового слоя Пользуясь выражением для потенциала шара (задача 1, § 27), получим согласно (31.04)

где полный заряд шара. Заметим, что для вычисления по формуле (31.01) потребовалось бы учитывать поле как внутри, так и вне шара.

2. Определить собственную энергию заряда, распределенного с плотюностью по некоторой поверхности о.

Решение. Будем рассматривать поверхностный заряд как заряд, распределенный в тонком слое. Положим в Тогда

где интеграл распространен по всей поверхности.

3. Определить собственную энергию заряда распределенного с постоянной плотностью у] по поверхности шара радиуса а.

Решение. Пользуясь результатом предыдущей задачи и тем, что потенциал поверхностно заряженного шара равен получим