§ 55. Изменение функции Лагранжа финитной системы частиц при внесении ее во внешнее поле. Теорема Лармора и индуцированный магнитный момент

Рассмотрим систему заряженных частиц, движущихся в конечной области пространства. Подобной системой может быть, например, атом или молекула. Согласно (52.06) лагранжеву функцию такой системы можно написать в форме

где а — номер частицы. Значок а при потенциалах означает, что они берутся в точке, занимаемой частицей с номером а. Потенциалы создаются всеми зарядами системы, поэтому (55.01) учитывает взаимодействие частиц.

Допустим, что система вводится во внешнее медленно меняющееся электромагнитное поле, которое в пределах системы можно считать однородным. Теперь к потенциалам внутреннего поля надо добавить потенциалы внешнего поля. Если выбрать начало координат внутри системы, то

Функция Лагранжа получит добавку

Подставим сюда потенциалы (55.02), взятые в точке После простых преобразований получим

Но есть электрический момент, а есть магнитный момент системы. Поэтому

Энергии электрического и магнитного диполей во внешнем поле согласно (32.04) и (32.06) равны вошли с разными знаками. Электрическая энергия играет роль потенциальной энергии. Магнитную энергию следует истолковать как аналог кинетической энергии.

Рассмотрим влияние магнитного поля на заряд, финитно движущийся в поле центральной силы. Начало координат выберем в центре сил. Если и магнитное поле однородно, то функцию Лагранжа можно написать в форме

Перейдем от неподвижной системы координат К к системе координат Кравномерно вращающейся вокруг начала О с угловой скоростью а). Скорость частицы во вращающейся системе связана со скоростью в неподвижной системе формулой

Чтобы получить лагранжеву функцию частицы в системе координат подставим (55.06) в (55.05). После простых преобразований получим

Если положить

то в слабом магнитном поле (когда можно пренебречь членом функция примет вид

Эта функция характеризует движение частицы в центральном поле при отсутствии магнитного поля.

Под действием поля частица описывает в системе К некоторую траекторию. В системе координат К эта траектория будет вращаться вместе с К с угловой скоростью о). Мы приходим таким образом к теореме Лармора: действие магнитного поля на финитно движущуюся заряженную частицу в первом приближении сводится к прецессии (вращению) траектории частицы вокруг направления поля с угловой скоростью (55.07). Последняя называется ларморовской угловой скоростью.

Применимость теоремы Лармора определена требованием: отброшенный в квадратичный член должен быть мал по сравнению с линейным. Так как где угловая скорость вращения заряда по первоначальной траектории, то должно быть

или согласно (55.07)

Если положить магн. то теорема Лармора справедлива при гаусс.

Появление магнитной энергии в (55.04) и прецессии Лармора объясняется тем, что внесение системы во внешнее магнитное поле изменяет поле. Изменение магнитного поля индуктирует вихревое электрическое поле, а последнее изменяет энергию частицы. Работа поля за время одного оборота заряда по траектории согласно (12.01) равна Если за время магнитное поле увеличивалось от

начального значения до В, то полная работа э. д. с. индукции равна

магнитный поток через поверхность, ограниченную траекторией заряда). При выключении поля процесс проходит в обратном направлении и первоначальное состояние системы восстанавливается. Таким образом, создаваемый ларморовской прецессией добавочный ток можно истолковать как индукционный ток, вызванный изменением магнитного потока.

Ларморовская прецессия приводит к возникновению индуцированного магнитного момента. Орбитальный магнитный момент системы по (38.07) равен

В магнитном поле скорость заряда определяется выражением (55.06). Поэтому новый магнитный момент

Выбираем ось z в направлении магнитного поля. Тогда

При периодическом движении Поэтому

Таким образом, под действием магнитного поля в системе появляется индуцированный магнитный момент

направление которого всегда противоположно направлению индуцирующего поля. Этот момент называется диамагнитным. По величине он всегда меньше (кроме случая когда система в отсутствии магнитного поля не обладает магнитным моментом).

Для атома, содержащего электронов, коэффициент при В (коэффициент магнитной поляризации) по порядку величины равен

Здесь средний квадрат радиуса электронных орбит атома (порядка ).