§ 123. Свободные электроны в металлах

Рассмотрим модель металла Зоммерфельда, в которой принимается во внимание лишь верхняя, не полностью заполненная электронами зона. Электроны в зоне рассматриваются как идеальный газ фермионов в потенциальной яме глубины образованной ионами кристаллической решетки. Такое представление правильно лишь в первом приближении. В действительности электроны в металле движутся в периодическом поле кристаллической решетки металла (§ 120) и

потенциальная энергия электрона быстро меняется при перемещении от одного иона к другому. Кроме того, электроны взаимодействуют друг с другом.

В модели Зоммерфельда периодическая потенциальная энергия электрона в поле ионов и других электронов заменяется некоторой средней постоянной потенциальной энергией Эта энергия играет роль дна зоны. На границе металла она быстро возрастает до нуля в области порядка 10 см, образуя потенциальный барьер (рис. 67). Этот барьер обусловлен взаимодействием отрицательных электронов с положительными ионами металла. Главную часть этого взаимодействия составляет потенциальная энергия электрона, вышедшего из металла, и его электрического изображения в металле (§ 91), равная расстояние электрона от поверхности). Вне металла

Рис. 67.

Энергию электрона в металле можно написать в форме (120.06)

где импульс и энергия (если размеры металла достаточно велики) меняются практически непрерывно. Взаимодействие электронов с решеткой [в (123.01)] косвенно можно учесть, если ввести вместо эффективную массу

Применим статистику Ферми к свободным электронам в металле. В § 122 показано, что число свободных электронов в металле равно числу валентных электронов. Например, для серебра Пользуясь этим значением, вычислим химический потенциал (границу Ферми) при Согласно (118.12) имеем

Следовательно, температура вырождения (118.17) равна

Для других металлов получаются близкие к этому значения. Отсюда вытекает, что при всех нормальных температурах электронный газ в металлах в высокой степени вырожден. Кинетической энергии соответствует скорость порядка 108 см/сек. Эта скорость значительно превышает среднюю тепловую скорость при нормальных температурах

При температурах график распределения имеет вид, изображенный на рисунке . Область размытости распределения имеет ширину порядка Вследствие того что нижние состояния зоны почти до заполнены электронами, участвовать в явлении проводимости могут только те электроны, которые имеют энергию в области размытости распределения на границе Ферми. Эти же электроны участвуют в тепловом движении.

Средняя кинетическая энергия электронов единицы объема равна (задача § 118)

Отсюда следует, что изохорная теплоемкость равна

Она линейно зависит от температуры и при обращается в нуль в согласии с тепловой теоремой Нернста. Классическая теплоемкость того же числа частиц одноатомного газа равна

Отношение теплоемкостей равно

Так как

то при температуре

Таким образом, при обычных температурах теплоемкость электронного газа составляет лишь несколько процентов от теплоемкости одноатомного газа в классической кинетической теории. Поэтому теплоемкость металла определяется теплоемкостью кристаллической решетки и при температурах, превышающих дебаевскую температуру равна 6 кал/град. моль (правило Дюлонга и Пти). При теплоемкость решетки меняется пропорционально и при достаточно низких температурах делается меньше теплоемкости электронного газа.