§ 14. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Плотность электромагнитной энергии и вектор Умова — Пойнтинга

Выше указывалось, что для частиц (вещества) имеют место законы сохранения энергии, импульса (количества движения) и момента импульса. Представление о единстве материи требует, чтобы законы сохранения, справедливые для одного из видов материи, были справедливы и для других видов, если для них сохраняющаяся величина имеет смысл. Покажем, что для электромагнитного поля можно ввести величины, которые можно истолковать как Энергию, импульс и момент импульса поля.

Прежде всего рассмотрим закон сохранения энергии. Экспериментально доказано, что создание поля требует затраты энергии. Следовательно, на основании закона сохранения энергии электромагнитное поле обладает некоторой энергией. Но в отличие от механической энергии, связанной с частицами, энергия поля не может быть локализована. Она распределена по всей области, в которой электромагнитное поле В отлично от нуля.

Обозначим объемную плотность распределения энергии Полная энергия поля в объеме V получается интегрированием плотности по объему

Закон сохранения энергии для поля при отсутствии зарядов формально может быть выражен либо в форме подобной (5.04)

(уменьшение энергии поля в объеме V за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность а, ограничивающую объем V), либо в дифференциальной форме типа (5.05), вытекающей из (14.02)

Идея о движении энергии была впервые высказана Н. А. Умовым в 1873 году. Вектор характеризующий плотность потока энергии (количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную к направлению потока), называется вектором Умова. Конкретный вид вектора Умова для потока электромагнитной энергии был установлен Пойнтингом в 1884 году.

Выражение для плотности энергии и потока энергии электромагнитного поля можно получить из уравнений Максвелла — Лоренца.

Из (8.06) и (11.03) имеем

Умножив скалярно первое уравнение на Е, второе на и затем сложив эти уравнения, получим

Так как

то

Величина есть работа, произведенная полем в единицу времени над зарядами в единице объема. Следовательно, скаляр

имеет размерность плотности энергии и может быть истолкован как плотность энергии электромагнитного поля, а вектор

может быть истолкован как вектор плотности потока энергии. Этот вектор называют вектором Умова — Пойнтинга.

При отсутствии зарядов уравнение (14.04) в полном согласии с (14.03) принимает вид

Таким образом, для свободного электромагнитного поля скаляр истолкованный как плотность энергии, действительно удовлетворяет закону сохранения.

Энергия поля не сохраняется, если имеет место взаимодействие поля с зарядами (14.04).

Получим общую формулировку закона сохранения энергии. Совершенная в единицу времени работа сил, действующих на заряды в единице объема, равна скорости изменения кинетической энергии зарядов в единице объема

где плотность «сторонних» сил, действующих на заряды и имеющих неэлектромагнитное происхождение. Исключая из (14.04) работу электрического поля с помощью (14.08), получим

Проинтегрируем (14.09) по некоторому неизменному объему V (производную по времени выносим за знак интеграла). Пользуясь теоремой Остроградского и тем, что для медленно движущихся частиц где плотность массы частиц и

(суммирование производится по всем заряженным частицам в объеме имеем

Здесь

есть работа сторонних сил, совершаемая в единицу времени в объеме . Выражение (14.10) дает общую формулировку закона сохранения и превращения энергии: работа сторонних сил в объеме идет на увеличение кинетической энергии частиц, энергии электромагнитного поля в объеме V и на поток энергии через поверхность а, ограничивающую этот объем.

Если сторонних сил нет и объем V охватывает все поле, так что на его границе то

Это значит, что сумма кинетической энергии частиц и энергии электромагнитного поля сохраняется. При этом кинетическая энергия частиц может превращаться в энергию поля и обратно. Энергию

поля, связанного с заряженными частицами, можно рассматривать как взаимную потенциальную энергию частиц (ниже мы увидим, что взаимная энергия частиц составляет только часть энергии поля).

Задачи

1. Показать, что поток энергии для свободного электромагнитного поля, определяемого формулами (13.01), можно представить в виде

где единичный вектор в направлении распространения поля.

Решение. Так как то и формулы (13.01) принимают вид

Отсюда

так как . С другой стороны, следовательно,

и

Таким образом, в случае электромагнитной волны вектор Умова — Пойнтинга представляется как произведение плотности энергии на скорость ее распространения (подобно тому, как конвекционная плотность тока представляется в виде

2. Определить энергию электрического поля неподвижного заряда распределенного равномерно по поверхности шара радиуса а.

Решение. Пользуясь результатами задачи 1 (§ 3), получаем для плотности электрической энергии

Интегрируя по всему объему поля (по области вне шара), получим

то есть энергия шара обратно пропорциональна его радиусу.