§ 149. Парамагнетизм металлов

Согласно обобщенной теории Ланжевена, изложенной в § 147, при 7300° восприимчивость х порядка и меняется пропорционально . Для большинства металлов восприимчивость и не зависит от температуры, что находится в противоречии с теорией Ланжевена. В. Паули показал, что это противоречие устраняется, если учесть принцип Паули и статистику электронов. Действительно, электроны в целиком заполненных зонах не могут вносить вклада в парамагнитный момент, так как каждый невырожденный уровень занят двумя электронами с противоположными направлениями спина и магнитного момента. То же самое относится к электронам, находящимся на более глубоких уровнях зоны проводимости. Ориентироваться в магнитном поле могут лишь электроны, энергия которых лежит вблизи уровня Ферми С в интервале порядка Число этих электронов в приблизительно равно Так как » то вероятность параллельной ориентации вектора превышает вероятность антипараллельной ориентации на величину порядка Парамагнитный момент единицы объема и восприимчивость равны

Таким образом, не зависит от температуры и имеет порядок так как

Рассмотрим строгий вывод парамагнитного момента, обусловленного ориентацией магнитных моментов свободных электронов. Число электронов с магнитным моментом, ориентированным параллельно полю, и с энергией равно электронов с магнитным моментом, ориентированным антипараллельно полю, и с энергией равно есть функция распределения Ферми (121.06)). Поэтому парамагнитный момент единицы объема равен

Заметим, что Заменяя в первом интеграле через а во втором через получим

Разложим в ряд по степеням (ограничиваясь первыми членами). Проинтегрируем последнее уравнение по частям, пользуясь тем, что на границах интегрирования и произведедение обращается в нуль; получим

Так как ведет себя как -функция, имея острый максимум при равном химическому потенциалу С, то

где значение химического потенциала при . С другой стороны, по (118.10) и число электронов в 1 см. Поэтому

В полученное выражение для х надо внести две поправки.

1. Химический потенциал вычисляется в предположении, что масса носителя равна массе электрона Это справедливо только для свободных электронов. В действительности электроны движутся в периодическом поле решетки (§ 120). Взаимодействие электрона с решеткой в первом приближении учитывается введением эффективной массы электрона . В (149.02) вместо надо подставить значение С при равное по Поэтому

2. Л. Д. Ландау показал, что внешнее магнитное поле воздействует на поступательное движение свободных электронов, создавая некоторый диамагнитный момент. Пусть магнитное поле направлено по оси z. Тогда в плоскости электрон будет описывать круговую траекторию с циклотронной частотой Движение электрона квантуется, поэтому энергию можно написать в форме

где колебательное квантовое число. Отсюда следует, что магнитный момент орбиты равен

Суммируя по всем электронам единицы объема (умножив на функцию распределения Ферми, суммируя по всем и интегрируя по от до получим для диамагнитной восприимчивости

Парамагнитная восприимчивость свободных электронов металла равна

Отсюда следует, что при ; при электронный газ парамагнитен при электронный газ диамагнитен

При сравнении изложенной теории с опытом следует учитывать, что такие металлы, как Те, можно рассматривать в виде совокупности ионов, погруженных в электронный газ. Эти ионы имеют замкнутые оболочки и поэтому диамагнитны. Следовательно, восприимчивость металла равна Хион» где определяется формулой (149.07), а Хион Так, для калия Вычисленное по формуле (149.07) при значение то есть оказывается слишком низким. Если взять (полученное из оптических констант металла), то по (149.07) получается что ближе к опытному значению. Из сравнения теоретических и опытных х следует, что для калия, натрия, рубидия и цезия а для магния