§ 90. Конденсаторы

Особый интерес представляет система двух проводников, образующих конденсатор. Пусть первый проводник находится в замкнутой полости, вырезанной внутри второго (рис. 36). Пространство между проводниками может быть заполнено изолятором с диэлектрическим коэффициентом 8. Такая система называется замкнутым конденсатором, а проводники 1 и 2 — его обкладками. Пусть и потенциалы проводников, а их заряды. Заряд складывается из заряда индуцированного зарядом на внутренней поверхности второго проводника, и из заряда на его наружной поверхности. Проведем во втором проводнике замкнутую поверхность, охватывающую всю полость. Поток вектора индукции через эту поверхность будет равен Но в проводнике поэтому Следовательно, т. е. индуцированный на внутренней поверхности второго проводника заряд равен по величине и противоположен по знаку индуцирующему заряду. Поэтому все линии индукции, начинающиеся на внутренней обкладке, будут оканчиваться на внешней.

Рис. 36.

Полный заряд второго проводника согласно (88.05) равен

С другой стороны, заряд расположенный на внешней поверхности проводника, не оказывает влияния на полость. Поле вне второго проводника зависит только от потенциала, размеров и формы внешней поверхности проводника. Поэтому можно написать

где есть емкость уединенного второго проводника. Поэтому из (90.01)

С другой стороны,

Следовательно,

Равенство (90.04) должно выполняться при всех значениях потенциалов и Поэтому

Так как то для конденсатора

Тогда

Таким образом, заряд каждой из обкладок конденсатора пропорционален разности потенциалов обкладок. Общее значение С коэффициентов называется емкостью конденсатора. Заметим, что в случае замкнутого конденсатора

На практике обычно употребляются незамкнутые конденсаторы — системы двух проводников, форма и взаимное расположение которых таковы, что почти равно (будем считать ). Чтобы было сравнимо с надо проводники сблизить.

Энергию конденсатора можно написать согласно (89.04) и (90.05) в форме

Поле замкнутого конденсатора распадается на поле внешнее и поле внутреннее. Первый член (90.07), зависящий от потенциала второго проводника и его емкости есть энергия внешнего поля; второй член, зависящий от разности потенциалов проводников и емкости С, есть энергия внутреннего поля. Обычно мало по сравнению с С, и первым членом в (90.07) можно пренебречь. Поэтому считают, что энергия заряженного конденсатора равна Последнее выполняется точно лишь при

Для незамкнутого конденсатора Энергию можно представить в форме

Если разности малы по сравнению с порядка и то значение энергии будет определять последний член.

Вышеизложенное отно ится к конденсаторам, в которых для диэлектрика, расположенного между обкладками, имеется линейная

связь между Для сернетоэлектриков связь между нелинейная, поверхностная плотность заряда и заряд обкладки определяются формулами

Задачи

1. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сферических электродов (радиус внутреннего электрода равен внутренний и внешний радиусы внешнего — соответственно Промежуток между электродами заполнен диэлектриком с коэффициентом Определить емкостные и индукционные коэффициенты.

Решение. Потенциал между обкладками удовлетворяет уравнению Лапласа граничным условиям

Поэтому

где

Поверхностные плотности зарядов равны

Следовательно, заряды

Отсюда

Заряд на внешней поверхности наружного электрода равен

Если то относительная емкость (это неравенство усиливается, если коэффициент диэлектрика внутри конденсатора больше коэффициента диэлектрика вне конденсатора).

2. Определить емкостные и индукционные коэффициенты цилиндрического конденсатора, состоящего из двух коаксиальных цилиндров длины I и радиусов Промежуток между цилиндрами заполнен диэлектриком с коэффициентом Влиянием концов цилиндров пренебречь.

Решение. Потенциал удовлетворяет уравнению и граничным условиям Методом, аналогичным

примененному в задаче 1, получаем

3. Определить емкость плоского конденсатора с площадью обкладки а, в котором диэлектрик состоит из плоских слоев, параллельных обкладкам и имеющих диэлектрические коэффициенты Толщины слоев диэлектрика равны соответственно причем есть расстояние между обкладками.

Решение. Проведем ось х нормально к плоскости обкладок. Если линейные размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием то поле внутри конденсатора можно считать однородным. Тогда разность потенциалов

так как вектор индукции направлен по нормали и остается постоянным. Заряд обкладки равен

откуда емкость

В частности, для однослойного конденсатора