§ 27. Уравнение Пуассона. Определение потенциала по заданному распределению заряда

Потенциал создаваемый распределением заряда удовлетворяет дифференциальному уравнению, называемому уравнением Пуассона. Подставляя (26.01) в первое уравнение (25.02) и замечая, что есть операция Лапласа, получим

Это уравнение, выведенное впервые Пуассоном, однозначно определяет потенциал если учесть естественное граничное условие (26.04). Частный случай уравнения Пуассона при

называется уравнением Лапласа.

Будем искать решение уравнения Пуассона (27.01) в форме

Здесь радиус-вектор точки А, в которой наблюдается поле, радиус-вектор элемента объема заряда, так называемая функция Грина. Интегрирование ведется по части объема заряда, для которой определяется потенциал. Если надо определить потенциал всего заряда, то интеграл берется по всему объему заряда. Тогда, поскольку вне объема заряда интеграл можно распространить на все бесконечное пространство. Задача сводится к определению функции Грина. Применяя к (27.03) оператор Лапласа и пользуясь (27.01), получим

где дифференцирование производится по аргументу а интегрирование по по всему бесконечному пространству. Последнее уравнение должно выполняться для любой достаточно гладкой функции Сравнивая его с определением -функции Дирака, получим уравнение для функции Грина

Таким образом, функция Грина удовлетворяет уравнению Пуассона для потенциала, создаваемого единичным положительным точечным зарядом.

Чтобы решить уравнение (27.04), воспользуемся тем обстоятельством, что функция сферически симметрична и потенциал точечного заряда должен быть также сферически симметричным. Вводя

сферическую систему координат с началом в точке и обозначив приведем (27.04) для всех точек вне точечного заряда к виду

Общий интеграл этого уравнения равен где постоянные интегрирования. Введем нормировочное условие — потребуем, чтобы в бесконечности исчезала. Тогда и

Таким образом, функция Грина есть симметричная функция от обращающаяся в бесконечность в точке занимаемой точечным зарядом. Коэффициент определяется из условия, что электрическое поле, определяемое потенциалом О,

должно совпадать с полем — единичного точечного заряда. Поэтому и функция Грина принимает вид

Следовательно, электростатический потенциал произвольно распределенного заряда равен

Это выражение можно истолковать согласно принципу суперпозиции потенциалов как алгебраическую сумму потенциалов создаваемых в данной точке всеми бесконечно малыми элементами заряда.

Функция Грина (27.05) обращается в бесконечность при Поэтому возникает вопрос о применимости формулы (27.06) в том случае, когда точка наблюдения лежит внутри объема V, занятого зарядом, и при интегрировании принимает значение Докажем, что формула (27.06) остается применимой и в этом случае.

Выберем точку А за начало сферической системы координат Тогда

Потенциал в точке А равен

Этот интеграл сходится, если плотность заряда конечна во всем объеме Поэтому (27.06) определяет потенциал распределенного с плотностью заряда в любой точке А пространства, как внешней, так и внутренней.

Если имеется система точечных зарядов, то плотность заряда определяется формулой (4.09)

подстановка которой в (27.06) дает потенциал системы точечных зарядов

В частности, потенциал одного точечного заряда сосредоточенного в начале координат, равен

Из (27.08) видно, что для одного точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой семейство концентрических сферических поверхностей Линии вектора напряженности имеют вид прямолинейных лучей, расходящихся из заряда, и в каждой точке перпендикулярны к соответствующей эквипотенциальной поверхности (рис. 1).

Беря градиент от получаем общее выражение для напряженности электростатического поля объемно распределенного заряда

Задачи

1. Определить с помощью уравнения Пуассона потенциал и напряженность поля внутри и вне шара радиуса а, равномерно заряженного с плотностью

Решение. Потенциал равномерно заряженного шара сферически симметричен и, следовательно, должен зависеть только от расстояния от центра шара. Выбирая сферическую систему координат с началом в центре шара, получим уравнение Пуассона для области внутри шара

Для области вне шара

Из последнего уравнения в связи с граничным условием (16.04) следует а из первого —

Потенциал в центре шара должен быть конечен. Поэтому следует положить На границе шара и должны быть непрерывны (в противном случае на границе шара поле или принимали бы бесконечное значение), то есть

отсюда получаем систему двух уравнений для определения

Окончательно для потенциала поля имеем

Напряженность поля (сравните задачу 2, § 3) равна

2. Определить потенциал заряда, распределенного с некоторой поверхностной плотностью по поверхности а.

Решение. На элементе поверхности находится элемент заряда который в точке на расстоянии создает потенциал Складывая потенциалы, создаваемые всеми элементами заряда, получим

Тот же результат можно получить из (27.06), если учесть, что объемная плотность поверхностно распределенного заряда может быть написана в форме расстояние по нормали от поверхности), а элемент объема

3. Диск радиуса а равномерно заряжен по поверхности с плотностью Определить поле на оси диска на расстоянии х.

Решение. В качестве элемента площади берем кольцо (рис. 14). Следовательно,

Поле по нормали равно

По другую сторону плоскости диска так что

Отсюда следует, что при переходе через заряженную поверхность потенциал меняется непрерывно, а нормальная составляющая напряженности поля терпит разрыв, пропорциональный поверхностной плотности заряда

Если радиус диска неограниченно увеличивать, то диск превращается в равномерно заряженную плоскость. Потенциал поля при этом неограниченно возрастает (так как при полный заряд но напряженность поля остается конечной, равной

Рис. 14.

4. Определить потенциал и эквипотенциальные поверхности заряда равномерно распределенного вдоль отрезка (рис. 15) с линейной плотностью

Решение. Вследствие осевой симметрии достаточно рассмотреть поле в плоскости, проходящей через ось х (на которой лежит отрезок

Рис. 15.

Выберем начало координат О в середине отрезка. Для потенциала в точке имеем

Интеграл приводится к элементарному подстановкой Эйлера и дает

Линии равного потенциала в плоскости определяются уравнением

Докажем, что это уравнение определяет семейство эллипсов с фокусами в точках на концах отрезка Обозначим через расстояния точки А от концов отрезка, а через проекции на ось х. Тогда

Последнее равенство вытекает из того, что или Имеем два уравнения

Складывая эти уравнения и замечая, что получим

Следовательно, точки лежат на эллипсе с большой полуосью а и линейным эксцентриситетом с. Из осевой симметрии следует, что эквипотенциальные поверхности суть вытянутые вдоль оси х конфокальные эллипсоиды вращения.

Потенциал в точке равен

Легко видеть, что линии вектора расположены в меридиональных плоскостях, проходящих через ось вращения и являются гиперболами с фокусами

5. Доказать, что в задаче 4 при с потенциал переходит в потенциал точечного заряда, а при с но в потенциал бесконечной равномерно заряженной прямой (с точностью до бесконечной постоянной).

6. Доказать, что формула (27.09) применима для вычисления напряженности поля в точке лежащей внутри области, занятой объемным зарядом.

(Решение подобно тому, которое дано в тексте параграфа).