§ 96. Задача Бурсиана — Лангмюра (плоский-диод)

Простейший электронный прибор — плоский диод — состоит из двух плоских параллельных электродов (катода и анода), помещенных в вакууме на расстоянии друг от друга. К электродам приложено напряжение . Катод нагрет и испускает термоэлектроны, вследствие чего через диод идет электрический ток. Определим плотность этого тока.

Эта задача впервые была решена Бурсианом в 1919 году. Позже она рассматривалась в более общей постановке рядом авторов: Богуславским, Лангмюром и др.

Пусть потенциалы катода и анода соответственно равны При больших анодных напряжениях все электроны, выходящие из катода, доходят до анода и плотность тока (ток насыщения) не зависит от Величина тока насыщения зависит лишь от эмиссионной способности катода и определяется формулой Ричардсона—Дэшмана (гл. VIII)

где а — постоянная, - абсолютная температура, работа выхода электрона из катода, постоянная Больцмана.

Рассмотрим изменение распределения потенциала между электродами при постепенном увеличении эмиссии электронов с повышением температуры катода. Ограничимся случаем, когда достаточно велико и начальными скоростями эмитированных электронов можно пренебречь.

При низких температурах эмиссии нет и Поэтому между электродами нет объемного заряда. Потенциал зависит от х линейно (рис. 40, прямая 1). При некотором повышении температуры появляется ток, по величине совпадающий с (влияние объемного заряда еще не сказывается). По мере роста растет и отрицательный объемный заряд, понижающий потенциал. Кривая «провисает» относительно прямой 1. При дальнейшем увеличении объемного заряда напряженность поля у катода обращается

в нуль и может изменить свой знак. Минимум потенциала будет достигаться не у катода, а на некотором расстоянии от него (кривая 3). Плотность тока в диоде уменьшается, так как медленные электроны не могут преодолеть возникшее задерживающее поле и возвращаются на катод.

Найдем распределение потенциала. Плотность объемного заряда равна если число электронов в кубическом сантиметре.

Рис. 40.

Плотность тока равна где скорость электрона. В плоскости с потенциалом скорость электрона равна

Поэтому плотность заряда равна

где не зависит от х (для стационарного тока). Уравнение Пуассона принимает вид

Нелинейное уравнение (96.02) проинтегрируем при следующих граничных условиях:

Второе условие соответствует упомянутому выше обращению поля в нуль на катоде и кривой 2 (рис. 40, а). Случай, соответствующий кривой 3, при сделанном предположении о нулевой начальной скорости электронов не осуществляется.

Умножим уравнение (96,02) на Тогда

откуда

Из граничных условий при следует Поэтому

то

Граничное условие при дает

Отсюда

Таким образом, для зависимости у от имеет место «закон 3/2». При больших рост постепенно замедляется и достигает тока насыщения (96.01). Вольт-амперная характеристика диода изображена на рисунке