§ 19. Основные законы механики быстро движущихся частиц

Выражение для кинетической энергии частицы справедливо только при Учитывая пропорциональность массы и энергии (§ 16), получим для кинетической энергии более общее выражение. Предполагая, что соотношение (16.08) справедливо не только для поля, но и для частиц, можно сформулировать следующие законы движения для частицы:

1) изменение импульса в единицу времени равно действующей силе

2) изменение энергии частицы в единицу времени равно мощности действующей силы

3) масса и энергия пропорциональны

Поскольку энергия частицы зависит от скорости, то из (19.03) следует зависимость массы от скорости. Подставляя (19.03) в (19.02) и пользуясь (19.01), получим

Вводя вектор и разделяя переменные, имеем

Интегрируя это выражение и обозначая постоянную интегрирования через найдем

откуда

Чтобы выяснить смысл постоянной интегрирования, положим тогда Таким образом, есть масса покоящейся частицы — так называемая масса покоя.

Формула (19.04), дающая зависимость массы от скорости, была впервые получена Лоренцем для так называемой электромагнитной массы и затем распространена А. Эйнштейном в его специальной теории относительности на обычную «механическую» массу. Поскольку с имеет величину то для малых скоростей членом можно пренебречь по сравнению с единицей и считать массу постоянной, равной массе покоя По мере приближения скорости к значению с масса неограниченно возрастает, стремясь к бесконечности. Зависимость (19.04) подтверждена экспериментально многочисленными опытами с быстрыми частицами.

Подставляя выражение для массы (19.04) в (19.03), получим новое выражение для энергии частицы

При имеем

Эта величина называется энергией покоя частицы. Покоящаяся частица обладает энергией, пропорциональной массе покоя частицы. Эта энергия определяется внутренней структурой частицы и, возможно, слагается из энергий полей, с которыми связана частица, в частности и энергии ее электрического поля (см. задачи 2, § 14; 1, § 16).

Кинетическая энергия частицы определяется как разность энергии и энергии покоя

(Заметим, что часо кинетической энергией называют величину отличающуюся от энергией покоя.)

Легко показать, что при выражение (19.07) превращается в классическую кинетическую энергию Действительно, по

формуле бинома Ньютона Поэтому

При существенен лишь первый «классический» член разложения.

При скорости стремящейся к с, энергия как и масса, стремится к бесконечности. Поэтому скорость, равная скорости распространения электромагнитных действий, недостижима для частицы с отличной от нуля массой покоя — для достижения такой скорости требуется затратить бесконечную энергию.

Скорость распространения электромагнитных действий в любой системе отсчета является предельной скоростью. Материальные объекты не могут двигаться в любой системе отсчета со скоростью, превышающей скорость света, которая, как подчеркивалось выше, инвариантна. Со скоростью, равной скорости света с, могут двигаться лишь те материальные объекты, масса покоя которых равна нулю. Такими частицами являются кванты электромагнитного поля (фотоны) и, может быть, нейтрино.

Учитывая (19.04), импульс частицы можно написать в виде

Законы импульса и энергии для частицы принимают вид:

Соответственно можно уточнить формулировку (14.10) закона сохранения и превращения энергии. Заменяя в (14.10) классическую кинетическую энергию системы частиц значением энергии,

применимым для любых скоростей,

( — масса покоя частицы с индексом а), получим

Смысл этого выражения остается, конечно, прежним: работа сторонних сил в объеме V идет на увеличение энергии частиц, энергии электромагнитного поля в этом объеме и на поток энергии через поверхность, ограничивающую объем.

Импульс системы частиц согласно (19.08) принимает вид

Обобщенный закон сохранения и превращения импульса (18.05) может быть написан в форме

то есть изменение в единицу времени полного импульса в объеме V, равного сумме импульсов частиц и поля, определяется равнодействующей максвелловских натяжений, приложенных к границе объема, и равнодействующей сторонних сил, действующих на частицы.

Задача

Выразить энергию частицы через ее импульс Решение.

С другой стороны . Следовательно,