§ 76. Закон сохранения энергии для макроскопического поля

Макроскопическое поле есть усредненное микроскопическое поле. Однако плотность энергии макрополя нельзя получить усреднением плотности энергии микрополя, так как полная энергия, выраженная через квадраты микроскопических величин поля, не может быть представлена через усредненные величины. В нормальном состоянии макроскопического тела, соответствующем отсутствию электромагнитного возбуждения, то есть при тело все же обладает электромагнитной энергией, так как отличны от нуля. Энергия нормального состояния тела содержит собственную энергию всех составляющих его частиц, взаимные энергии электронов и ядер в атомах, атомов относительно друг друга, механическую энергию поступательного движения частиц и т. д. С макроскопической точки зрения эти составные части энергии микрополя рассматриваются как качественно различные формы энергии. Электромагнитной энергией тела с макроскопической точки зрения является лишь та часть энергии микрополя, которая соответствует переходу от нормального состояния тела к некоторому состоянию макроскопического электромагнитного возбуждения, в котором отлична от нуля хотя бы одна из макроскопических величин и т. д. Эта макроскопическая электромагнитная энергия выражается квадратичной функцией макроскопических полей.

Найдем выражение для энергии макроскопического поля и формулировку закона сохранения энергии поля. Возьмем уравнения Максвелла

умножим скалярно первое на а второе на сложив их, получим

Допустим, что

есть полный дифференциал. Тогда (76.01) принимает вид

где

Произведение есть работа, произведенная макроскопическим полем над свободными зарядами в единице объема в единицу времени

Поэтому надо истолковать как плотность макроскопической электромагнитной энергии, как вектор плотности потока энергии (вектор Умова — Пойнтинга).

Для существования плотности энергии необходимо, чтобы левая часть (76.02) была полным дифференциалом или чтобы из нее можно было выделить полный дифференциал. Если зависят соответственно от и линейно и среда однородная и изотропная, то Аналогично Поэтому

В случае анизотропных тел будет полным дифференциалом лишь при условии, что — симметричные тензоры, то есть

Действительно, если полный дифференциал, то и есть полный дифференциал. Тогда

то есть Аналогично для

Таким образом, для анизотропных тел

Если связь между индукциями и напряженностями нелинейная (сег-нетоэлектрики, ферромагнетики), то согласно (76.02)

(предполагается, что гистерезиса нет). При наличии гистерезиса можно написать Интегрируя последнее по всей петле гистерезиса (рис. 32), получим

Интеграл в (76.09) равен площади петли гистерезиса и не обращается в нуль. Величина дает теплоту, выделяющуюся в единице объема тела при перемагничивании. Аналогично рассматривается теплота гистерезиса в сегнетоэлектриках.

Вернемся к выражению (76.03). При наличии сторонних э. д. с. . Поэтому Подставляя это в (76.03), получим

Интегрируя (76.10) по некоторому объему тела V и применяя теорему Остроградского, имеем

Последний член

выражает теплоту Джоуля — Ленца, выделяющуюся в объеме тела в единицу времени.

Уравнение (76.11) выражает закон сохранения энергии: работа сторонних сил в объеме V идет на изменение энергии макроскопического поля в этом объеме, на поток электромагнитной энергии через поверхность а, ограничивающую объем, и на выделение теплоты Джоуля — Ленца. Заметим, что всегда положительно, то есть в проводящем макроскопическом теле всегда происходит необратимый процесс превращения макроскопической электромагнитной энергии во внутренюю энергию тела. Поскольку работа сторонних сил рассматривалась при постоянной температуре тела, электромагнитную энергию

следует рассматривать как часть свободной энергии тела. Так как являются, вообще говоря, функциями абсолютной температуры тела, то и электромагнитная энергия есть функция не только но и .