§ 69. Векторы электрической поляризации и электрической индукции. Теорема Гаусса.

Макроскопическую плотность зарядов в теле можно представить в форме (§ 68), тогда первое уравнение (68.01) примет вид

Это значит, что источниками макроскопического электрического поля являются как свободные, так и связанные заряды. Вычислим среднее значение плотности связанных зарядов Перенумеруем все сорта зарядов в молекулах тела радиус-вектор заряда относительно некоторого начала координат О (центра тяжести), выбранного внутри молекулы (атома), — число атомов в кубическом сантиметре, содержащих заряд

Поверхность а произвольного макроскопически малого объема разделит все молекулы на три типа: 1) молекулы, целиком находящиеся внутри объема V, 2) молекулы, целиком находящиеся вне объема и 3) молекулы, которые поверхностью а разрезаются на две части. Часть молекулы, попадающую внутрь объема условно назовем «хвостом». Хотя в целом молекулы электронейтральны, хвосты будут, вообще говоря, заряженными. Плотность связанных зарядов в объеме определяется суммой всех зарядов хвостов внутри поверхности а, то есть

Заряд будет находиться внутри объема если начало координат О (центр тяжести молекулы) находится внутри цилиндра с образующей построенного на элементе поверхности с нормалью (рис. 31). Объем цилиндра равен — Следовательно, заряд сорта а, вошедший в объем равен произведению на

число центров тяжести молекул, находящихся в этом цилиндре, т. е. равен

Просуммировав по всем сортам зарядов и проинтегрировав по поверхности а, ограничивающей объем получим полный заряд хвостов в этом объеме. По теореме Остроградского

Разделив это выражение на получим мгновенную плотность зарядов,

Здесь

есть вектор микроскопической электрической поляризации (микроскопический дипольный момент единицы объема). Интегрирование по объему с последующим делением на объем области интегрирования дает усреднение только по координатам (указано значком V у черты, обозначающей усреднение).

Рис. 31.

Так как усреднение по времени не сделано, то колеблется с атомными частотами. После усреднения по времени получим

где

есть вектор электрической поляризации (дипольный момент единицы объема вещества).

Полная макроскопическая плотность заряда равна

Подставив (69.05) в (69.01) и соединив члены с дивергенцией, получим

где

есть вектор электрической индукции (электрическое смещение Максвелла). Из (69.07) видно, что вектор электрической индукции связан

как с электрическим полем, так и с распределением зарядов в веществе. Уравнение (69.06) показывает, что электрическая индукция обусловлена только свободными зарядами. Из (69.06) следует теорема Гаусса:

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность равен произведению на свободный заряд находящийся внутри поверхности.

Уравнение (69.03) показывает, что связанные заряды сосредоточены там, где начинаются и оканчиваются линии вектора поляризации Знак минус указывает на то, что линии вектора поляризации начинаются на отрицательных связанных зарядах и оканчиваются на положительных.