§ 130. Фононы и теплопроводность кристаллической решетки. Длина пробега электронов

Напомним кратко основания теории теплоемкости Дебая. Тепловое движение частиц твердого тела можно рассматривать как совокупность плоских (ультразвуковых) волн, распространяющихся по всем направлениям внутри тела. Длины этих волн лежат в интервале от некоторой минимальной определяемой постоянной решетки, до сколь угодно больших. Частоты связаны с длиной волны обычным соотношением где скорость распространения звука в данном веществе. Поэтому существует некоторая максимальная частота

Плоской звуковой волне можно сопоставить поток квазичастиц — фононов (квантов звука) подобно тому, как плоской электромагнитной волне соответствует поток фотонов. Фонон частоты обладает энергией циклическая частота). Таким образом, тепловое движение в твердом теле можно рассматривать как хаотическое движение фононного газа. Распределение фононов по энергии определяется статистикой Бозе — Эйнштейна. При достаточно больших температурах применима статистика Максвелла

Вольцмана. Здесь характеристическая температура Дебая, равная

Температуры Дебая для разных веществ различны. Например, для для для алмаза При температурах теплоемкость решетки определяется законом Дюлонга и и для одноатомных твердых тел равна

При теплоемкость зависит от температуры. При достаточно низких температурах теплоемкость пропорциональна

С точки зрения представлений о фононном газе теплопроводность твердого тела можно рассматривать как перенос энергии фононами и применить обычную формулу кинетической теории, то есть

Здесь А — средняя длина свободного пробега, С — теплоемкость фононов (решетки) на единицу объема, и — средняя скорость фононов (средняя скорость звука). По существу эта формула определяет среднюю длину свободного пробега фононов. Теоретически длина свободного пробега определяется рассеянием на неоднородностях структуры и рассеянием фононов на фононах. Последнее обусловлено тем, что колебания атомов или ионов в решетке ангармонические. Заметим, что при длина свободного пробега, обусловленная рассеянием фононов на фононах, пропорциональна что находится в согласии с опытом.

Длину свободного пробега фононов можно найти из экспериментальных данных для теплопроводности изоляторов. В изоляторах теплопроводность, связанная с электронами проводимости, отсутствует и вся теплопроводность сводится к теплопроводности решетки. При 0 °С для кварца получается см, а для см. Таким образом, А имеет порядок десятка постоянных решетки. Длина свободного пробега по таблице § 129 порядка отношение (§ 123). Поэтому

то есть в чистых металлических проводниках электронная теплопроводность при комнатных температурах приблизительно на два порядка превышает фононную (решеточную).

Вернемся к электропроводности металлов. В классической теории электропроводности электроны сталкиваются с ионами решетки. Поэтому длина свободного пробега электронов должна быть порядка постоянной решетки , что находится в противоречии с данными таблицы § 129. Наоборот, в зонной теории в идеально правильной кристаллической решетке пробег электрона бесконечно велик, так как уровни энергии зоны простираются на весь кристалл. Конечная длина свободного пробега получается лишь при учете искажений решетки. При отсутствии примесей наиболее существенны искажения, вызванные тепловым движением решетки, которые обусловливают упругое и кеупругое рассеяние электронов.

С точки зрения представления о фононах можно говорить о рассеянии электронов на фононах. Энергии фононов относительно малы (не превышают что при составляет около а энергии электронов порядка Поэтому изменение энергии электрона при столкновении с фононом относительно мало.

Импульсы фононов их можно оценить по формуле того же порядка, что и импульсы электронов [см. (120.05)]. Поэтому в результате столкновения электрона с фононом будет происходить рассеяние электронов. Построенная на таких соображениях теория показывает, что при длина свободного пробега электрона равна

где длина пробега при Для полупроводников зависимость сохраняется и при низких температурах для металлов при

Существенно, что при стремлении к абсолютному нулю длина свободного пробега электронов, обусловленная столкновениями с фононами, неограниченно растет.

Для определения длины пробега электрона надо учесть рассеяние и на других дефектах решетки—нейтральные и ионизованные атомы примеси, пустые узлы решетки (§ 125), атомы или ионы, находящиеся в междоузлиях решетки, и различные искажения решетки, связанные с местными деформациями ее. Рассеяние электронов на некоторых из этих дефектов сохраняется и при

Заметим, что обратные пробеги, обусловленные различными независимыми механизмами рассеяния, аддитивны, то есть

Поэтому удобно вместо электропроводности у и теплопроводности х рассматривать обратные величины — удельное сопротивление и удельное тепловое сопротивление В силу (129.09), (130.05), (130.03) имеем

Здесь есть сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки, а всеми остальными факторами рассеяния. При низких температурах остаточное сопротивление обусловлено примесями и искажениями решетки.