§ 66. Макроскопические (усредненные) величины
Связь между микроскопическими и макроскопическими величинами можно получить путем пространственно-временного усреднения уравнений Лоренца. Задача усреднения заключается в получении величин, непосредственно сравнимых с измеренными на опыте.
Допустиц, что надо измерить вектор электрической напряженности в теле. Измерение производится посредством макроскопических приборов и сводится к измерению силы 
действующей на некоторый пробный заряд 
Если в качестве пробного заряда взять электрон или 
-частицу, то можно измерить напряженность 
микроскопического электрического поля. При макроскопических измерениях пробный заряд занимает объем 
в котором содержится большое число атомов тела (в противном случае будет измеряться микроскопическое поле). С другой стороны, объем пробного заряда 
должен быть мал по сравнению с размерами тела, в котором измеряется поле (иначе невозможно найти распределение макроскопического поля внутри тела). Объемы 
малые по сравнению с размерами тела, но большие по сравнению с размерами атомов, называются макроскопически малыми или физически бесконечно малыми.
Мгновенная сила, действующая на пробный заряд, равна
где 
микроскопическая сила, действующая на объем 
пробного заряда, распределенного с плотностью 
Не нарушая общности, можно считать, что пробный заряд распределен по объему 
равномерно. Тогда
Следует принять во внимание, что безынерционных физических приборов не существует и всякое измерение имеет свою
длительность. Промежуток времени 
в течение которого производится измерение, должен быть велик по сравнению с периодами изменения микроскопических полей, но мал по сравнению со временем изменения внешних воздействий или условий опыта. Такие промежутки времени называются макроскопически малыми (или физически бесконечно малыми).
Таким образом, измерение напряженности электрического поля сводится к измерению изменения количества движения пробного ааряда за макроскопически малый промежуток времени:
Напряженность 
макроскопического электрического поля получается делением 
на величину пробного заряда 
Заметим, что плотность пробного заряда в (66.01) не входит. Поэтому будем считать, что пробный заряд всегда можно выбрать настолько малым, чтобы он своим полем не вызывал изменений в распределении зарядов тела (не вызывал бы искажений микроскопического поля 
На самом деле электрический заряд имеет атомистическое строение и принципиально не существует сколь угодно малых пробных зарядов, распределенных равномерно по объему 
Поэтому величину 
даваемую выражением (66.01), следует рассматривать как определение напряженности макроскопического электрического поля. Всякое измерение напряженности поля действительным пробным зарядом будет давать величину, несколько отличающуюся от 
поскольку микроскопическое поле 
изменяется под воздействием пробного заряда. Обычно считается, что искажение поля мало и измеряемая на опыте напряженность практически не отличается от идеальной макроскопической напряженности (66.01).
Таким образом, всякой микроскопической величине 
можно сопоставить макроскопическую величину 
получающуюся путем усреднения по макроскопически малому объему 
окружающему точку 
и макроскопически малому промежутку времени 
вблизи момента 
Здесь 
-координаты некоторой точки внутри 
например центра, если 
есть некоторая сфера радиуса а. Поэтому средние (макроскопические) величины можно рассматривать как функции точки 
тела и момента времени 
около которых производится усреднение. В действительности макроскопические величины суть функции области, по которой производится усреднение.
Усреднение, дифференцирование и интегрирование (66.02) по любому из четырех аргументов представляют собой при заданных 
и 
переместительные операции — производная от среднего значения равна среднему значению от производной, интеграл от среднего значения равняется среднему значению от интеграла
Кроме того, среднее значение от суммы равно сумме средних значений, то есть
Постоянный множитель можно выносить за знак усреднения
В силу перечисленных свойств имеем
