§ 120. Зонная теория твердых тел

В изолированном атоме уровни энергии электронов дискретны и нижние уровни заполнены электронами (§ 117). Пусть атомов элемента сближаются, образуя кристаллическую решетку. Тогда потенциальные поля отдельных атомов, накладываясь друг на друга, образуют периодическое поле кристаллической решетки. Ход потенциальной энергии электрона вдоль некоторого направления, проведенного через ядра атомов, изображен на рисунке 63 сплошной кривой (пунктир изображает потенциальные энергии в полях отдельных атомов).

Рис. 63.

Пусть на одном из уровней (например, каждого атома до объединения атомов в решетку находилось по одному электрону. После объединения атомов в решетку (взаимодействия атомов друг с другом не учитываем) получим электронов, находящихся на -кратном вырожденном уровне. Если принять во внимание взаимодействие атомов друг с другом, то окажется, что -кратно вырожденный уровень энергии распадается на близких уровней, образующих более или менее широкую зону. Внутри этой зоны уровни расположены так часто, что можно говорить о практически непрерывном спектре значений энергии.

Каждый невырожденный уровень энергии атома при объединении атомов в решетку образует зону из близких уровней, а -кратно вырожденный уровень — зону из близких уровней накладывающихся друг на друга простых зон). Число атомов в твердого тела — порядка , следовательно, число уровней в невырожденной зоне также равно (на Так как уровни исходных атомов дискретны и разделены запрещенными интервалами энергии, то в кристалле между допустимыми зонами энергии остаются зоны, которым соответствуют запрещенные значения энергии. Чем выше

исходный уровень, тем более широкая зона получается из него при объединении атомов в кристаллическую решетку. С другой стороны, расстояния между соседними уровнями энергии атома уменьшаются с увеличением их энергии. Поэтому в кристалле нижние зоны разделены запрещенными областями энергии, а верхние зоны либо соприкасаются, либо перекрываются. На рисунке 63 допустимые зоны изображены штрихованными полосами.

Уровни энергии в различных зонах зависят от структуры кристаллической решетки и выражаются формулами, выводимыми методами квантовой механики. Для простой кубической решетки энергия валентного электрона, входящая в зону, возникшую из уровня изолированного атома и вычисленная в предположении, что взаимодействуют электроны только соседних атомов, равна

Здесь постоянные, имеющие размерность энергии, а составляющие вектора х равны

При выводе (120. 01) в кристаллической решетке выделяется большой куб со стороной в ребре которого укладывается (а — постоянная решетки) атомов. Числа суть целые числа в интервале от до

При изменении чисел энергия пробегает дискретный ряд значений, образующих зону Число всех уровней, возникших из невырожденного атомного уровня при объединении атомов в решетку, равно то есть числу атомов, объединенных в куб со стороной

При малых косинусы в (120. 01) разложим в ряд. Ограничиваясь первыми членами разложения, получим энергию электрона вблизи нижнего края зоны

Вблизи верхней границы зоны можно положить Тогда

Выясним смысл этих выражений. В модели металла, предложенной Зоммерфельдом, электроны рассматриваются как свободно движущиеся. Потенциальная энергия электронов внутри металла считается постоянной, равной — порядка а на границе равна

нулю. Таким образом, в этой модели пренебрегается периодичностью электрического поля кристаллической решетки.

Так как электроны движутся в конечном объеме их импульсы квантуются и равны

где — числа, определяемые формулой (120.02). Поэтому энергия электрона в модели Зоммерфельда равна

Выражения (120. 03) и (120. 04) перепишем в форме

Из сравнения (120. 06) и (120. 07) видно, что вблизи границ зоны электрон можно рассматривать как свободный с эффективной массой

положительной вблизи нижней границы зоны и отрицательной вблизи верхней. Здесь есть ширина зоны.

Поэтому эффективная масса (при учете взаимодействия электрона с решеткой) обратно пропорциональна ширине зоны. В частности, равна массе свободного электрона и

Внутри зоны свободных электронов каждому состоянию с импульсом соответствует состояние с противоположным направлением импульса Аналогично и для зоны (120. 01), однако (120. 05) в этом случае уже не является точным импульсом электрона и называется квазиимпульсом.

Заметим, что зоны, возникающие из глубоких уровней электронов в атомах, получаются узкими, так как коэффициент мал. Тогда эффективные массы велики и обычные электрические поля, налагаемые на кристалл, не приводят к заметному движению электронов в решетке. Поэтому внутренние электроны динамически связаны в узлах решетки (это представление очень близко к классическому представлению о связанных электронах). Для валентных электронов и внешнее поле ускоряет эти электроны подобно свободным электронам в вакууме.