§ 12. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме

Из формулы (11.02) вытекает формула Неймана для электродвижущей силы индукции. Рассмотрим некоторый замкнутый контур С в переменном магнитном поле. Согласно (9.01) э. д. с. в контуре равна

На основании теоремы Стокса и (11.02) имеем

Интегрирование проводится по любой поверхности, опирающейся на контур. Направление нормали выбрано в соответствии с направлением обхода контура. Если контур и поверхность неподвижны, то, вынося знак производной по времени за знак интеграла, получим

где

есть магнитный поток, идущий через поверхность о, ограниченную контуром С. Формула (12.01) выражает закон электромагнитной индукции Фараде электродвижущая сила, возникающая в замкнутом контуре, определяется скоростью изменения магнитного потока, проходящего через площадь, ограниченную контуром. Направление э. д. с. определяется знаком если то направление э. д. с. совпадает с направлением обхода контура, а если то эти направления противоположны.

Чтобы обнаружить э. д. с. индукции, контур надо сделать проводящим. Тогда в направлении э. д. с. в контуре возникнет электрический ток, обнаруживаемый приборами.

Рассмотрим в качестве примера индукцию в контуре С (рис. 10). Пусть магнитное поле создается постоянным током идущим по контуру При выбранных на рисунке направлениях обхода контура С и тока I магнитный поток через площадь а, ограниченную контуром С, положительный. Если расстояние между контурами уменьшается, то магнитный поток через а возрастает и согласно то есть э. д. с. индукции направлена в сторону, противоположную направлению обхода контура С (показано пунктирной стрелкой). Если расстояние между контурами увеличивается, направление э. д. с. индукции совпадает с направлением обхода контура.

Рис. 10.

Еще в 1834 году, до того как была получена формула (12.01), Э. X. Ленц установил закон для направления э. д. с. индукции: направление э. д. с. индукции таково, что магнитное поле соответствующего индукционного тока препятствует движению, вызывающему индукцию. Действительно, в случае сближения контуров индукционный ток в контуре С имеет направление, антипараллельное току в контуре антипараллельные токи отталкиваются (задача 4, § 7), то есть магнитное взаимодействие токов и препятствует сближению контуров. Если контуры удаляются друг от друга, то токи и параллельны и возникающая сила притяжения препятствует удалению.

Следует иметь в виду, что ток в контуре не обязан быть током проводимости. Это может быть ток смещения, также создающий магнитное поле (см. § 8 и 9). Кроме того, под движением, вызывающим индукцию, понимается всякое изменение, приводящее к изменению магнитного потока через площадь контура С, например изменение силы тока в контуре

Задачи

1. Имеются два параллельных проводника и (рис. 11). В проводнике идет ток в направлении от А к В. Определить направление э. д. с. индукции в проводнике если: а) проводник движется вниз; б) проводник движется вверх.

Решение. На основании закона Ленца находим, что в первом случае токи в обоих проводниках имеют одинаковое направление, так как их взаимное притяжение препятствует взаимному удалению проводников, а во втором — токи антипараллельны, так как при сближении проводников возникает сила взаимного отталкивания.

2. Замкнутый круговой контур радиуса а вращается с постоянной угловой скоростью вокруг одного из своих диаметров в однородном магнитном поле, перпендикулярном к оси вращения (рис. 12). Определить э. д. с. индукции, возникающую в контуре.

Рис. 11.

Рис. 12.

Решение. Обозначая через угол между направлением В и нормалью к контуру, получаем поток через площадь контура

Так как где а — начальная фаза, то

Тогда по (12.01)

Таким образом, меняется периодически с циклической частотой Когда направление э. д. с. совпадает с направлением обхода контура, указанного стрелкой. Амплитуда э. д. с. равна вольт.