§ 110. Теорема Умова — Пойнтинга в комплексной форме
Пусть комплексные векторы 
меняются со временем по закону 
Уравнения Максвелла (106.03) можно написать в форме
Обычно нас интересуют вещественные части комплексных векторов. Если 
где 
комплексные амплитуды, то вещественные части равны
Поэтому
При вычислении среднего по периоду 
Следовательно,
так как есть комплексно сопряженное от 
Напишем уравнение (110.01) в сопряженной форме
Умножив (110.04) на а (110.02) на — и сложив, получим
Усредним выражение (110.05) по времени. Согласно (110.03)
Выражение (110.06) представляет собой количество теплоты, выделяющееся в единице объема в единицу времени. Слагаемые (110.05)
суть средние плотности энергии магнитного и электрического полей.
Введем комплексный вектор Умова — Пойнтинга
Тогда
Интегрируя (110.09) по некоторому объему V и применяя теорему Остроградского, получим
где 
количество теплоты, выделяющееся в объеме 
средние значения магнитной и электрической энергий в этом объеме. Таким образом, вещественная часть потока энергии, входящего в рассматриваемый объем, равна количеству теплоты Джоуля — Ленца, а мнимая часть пропорциональна разности средних значений энергии магнитного и электрического полей в этом объеме.
