§ 16. Закон сохранения импульса. Электромагнитный импульс. Тензор плотности потока импульса

Покажем, что для электромагнитного поля существует величина, которая имеет смысл импульса (количества движения) поля и для которой при отсутствии заряженных частиц выполняется закон сохранения. В присутствии заряженных частиц в замкнутой системе выполняется закон сохранения суммарного импульса поля и частиц.

Так же как и энергия, импульс поля не локализован в какой-либо точке, а непрерывно распределен в поле. Поэтому можно ввести вектор плотности импульса поля определяющий полный импульс О поля в объеме V,

Вектор есть функция координат точки и времени. Найдем математический вид закона сохранения для любого вектора

Рассмотрим какую-либо составляющую вектора плотности например Закон ее сохранения можно представить согласно (14.03) в форме

Здесь вектор плотности потока величины характеризующий количество величины проходящее в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению потока. Составляющие вектора определяют плотности потока величины соответственно в направлениях Аналогично (15.02) законы сохранения могут быть выражены с помощью векторов плотности потока величин в форме

Совокупность трех векторов образует новую величину, которая называется тензором 2-го ранга. Обычно тензор 2-го ранга записывается в виде матрицы, составленной из составляющих векторов

Вектор с составляющими

называется дивергенцией тензора Пользуясь обозначением (15.05), законы сохранения (15.02) и (15.03) для трех составляющих вектора можно написать в виде одного тензорного уравнения, выражающего закон сохранения вектора

Для дивергенции тензора можно сформулировать теорему, аналогичную теореме Остроградского. Если о — замкнутая поверхность, окружающая объем внешняя нормаль к элементу поверхности, то для вектора имеем по теореме Остроградского

(аналогичные выражения имеют место для Стоящие справа величины согласно (15.05) являются составляющими вектора

Введем вектор (произведение тензора на вектор с составляющими

Тогда три соотношения типа (15.07) для можно записать в компактной форме тензорного равенства

Эта формула, представляющая собой обобщение теоремы Остроградского, утверждает, что поток тензора через замкнутую поверхность а равен интегралу от дивергенции тензора по объему, ограниченному поверхностью а.

Вернемся к закону сохранения импульса поля. Задача заключается в определении вектора плотности импульса и тензора плотности потока импульса через напряженности электромагнитного поля. Рассмотрим силу Лоренца, действующую на заряд в электромагнитном поле

Согласно (1.01) и (6.03) эта сила равна

Плотность силы (сила, действующая на единицу объема заряда) равна

Преобразуем плотность силы, исключив из нее плотность заряда и плотность тока с помощью уравнений 1-й группы Максвелла — Лоренца.

Тогда

Правую часть последнего выражения можно привести к более симметричному виду, если использовать уравнения (11.03) 2-й группы Максвелла — Лоренца

Умножая первое уравнение векторно слева на второе на и прибавляя их к правой части предыдущего соотношения, получим

Величину

легко преобразовать и показать, что О есть дивергенция некоторого тензора 2-го ранга. Рассмотрим проекцию на ось

Поэтому можно рассматривать как составляющую дивергенции тензора с составляющими

Аналогично преобразуется магнитный вектор Вводя симметричный тензор с составляющими

где пробегают значения и

мы можем написать в форме В итоге плотность силы Лоренца определится формулой

Так как есть плотность силы, то имеет размерность плотности импульса Поэтому вектор

(S - вектор Умова — Пойнтинга) можно рассматривать как вектор плотности количества движения электромагнитного поля.

При отсутствии зарядов и (15.14) можно написать в форме

Из сравнения (15.16) с (15.06) видно, что вектор при отсутствии зарядов действительно подчиняется закону сохранения, причем роль тензора потока импульса поля играет тензор

Интегрируя (15.16) по некоторому неизменному объему V и пользуясь (15.01), (15.08) и (15.09), получим

где поверхность, ограничивающая объем , а внешняя нормаль к элементу поверхности Таким образом, при отсутствии

зарядов изменение импульса поля в объеме V в единицу времени равно потоку тензора через ограничивающую объем поверхность. Если поверхность охватывает все поле, так что на ней равны нулю, то и Тогда

то есть при отсутствии зарядов полный импульс всего электромагнитного поля сохраняется.

Задача

Определить электромагнитное количество движения медленно движущегося заряда распределенного сферически симметрично.

Решение. Электрическое поле медленно движущегося заряда совпадает с его статическим полем Магнитное поле но (6.07) равно где скорость заряда. Поэтому плотность импульса поля, связанного с зарядом, равна

Примем, что заряд движется вдоль оси х, так что тогда

Следовательно, интегрируя по всему объему поля, получим

Но поле заряда сферически симметрично, поэтому

Следовательно,

Но — есть энергия электрического ноля заряда, поэтому

или

то есть количество движения поля движущегося заряда пропорционально вектору скорости заряда. Чтобы вычислить коэффициент при надо знать распределение заряда.