ГЛАВА III. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

§ 41. Плоские линейно-поляризованные электромагнитные волны

В § 13 показано, что свободное электромагнитное поле должно распространяться со скоростью, равной электродинамической постоянной с. Рассмотрим более подробно свободное электромагнитное поле. Общие уравнения свободного электромагнитного поля получаются из уравнений Максвелла — Лоренца, если положить :

Установим уравнения, которым подчиняются напряженности поля Беря производную от обоих членов второго уравнения и пользуясь первым уравнением, имеем

Так как

Аналогичному уравнению подчиняется вектор :

Уравнение вида (41.02) называется волновым уравнением или уравнением Даламбера. Введем оператор Даламбера;

Тогда волновое уравнение можно написать в форме

где обозначает или В.

Рассмотрим электромагнитное поле, зависящее только от времени и одной из координат, например х. Такое поле удовлетворяет уравнению

Общее решение этого уравнения имеет вид

где произвольные функции. Действительно, если введем новые переменные то

откуда и следует (41.07).

Решение описывает плоскую волну, распространяющуюся со скоростью с в положительном направлении оси х. В момент поле во всех точках произвольно выбранной плоскости имеет одно и то же значение (поэтому волна называется плоской). С течением времени поле в плоскости будет изменяться, а значение перейдет к моменту в другую плоскость, координата х которой удовлетворяет соотношению Другими словами, плоскость х, в которой поле имеет заданное значение будет передвигаться вдоль оси х по закону

Аналогично решение описывает плоскую волну, распространяющуюся со скоростью с в отрицательном направлении оси х.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. Если вектор остается коллинеарным постоянному единичному вектору то волна называется линейно-поляризованной, а вектор называется вектором поляризации. Плоскую линейно-поляризованную волну можно записать в форме

Обозначим через единичный вектор в направлении распространения волны, совпадающий с направлением нормали к волновой

поверхности Очевидно, Пользуясь (41.01), находим

Из (41.09) следует, что то есть электрическое поле перпендикулярно к направлению распространения. То же самое следует из уравнения для магнитного поля. Итак, электромагнитные волны в вакууме всегда поперечные, то есть векторы перпендикулярны к направлению распространения.

Найдем магнитную составляющую поля. Из второй группы уравнений (41.01) и (41.08) имеем

Поэтому

(постоянная интегрирования взята равной нулю, поскольку рассматривается лишь переменное поле). Окончательно,

Аналогично для вектора получаем

Равенства (41.10) и (41.11) совпадают с соотношениями (13.01), если положить согласно Таким образом, в плоской электромагнитной волне электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны. При этом зависимость от одинаковая и в каждой точке в каждый момент времени напряженности равны одна другой по величине (рис. 25).

Рис. 25.

Легко видеть, что электромагнитная волна переносит с собой энергию и импульс, причем плотности потока энергии и импульса равны соответственно:

Задачи

1. Показать, что если плоская электромагнитная волна распространяется в направлении не совпадающем ни с одной координатной осью, то ее уравнение можно написать в форме

Решение. Выберем направление за ось тогда

Замечая, что где радиус-вектор точки наблюдения, получим искомое уравнение.

2. Вывести уравнение (41.03).

3. Написать волновое уравнение в сферических координатах и исследовать решение, зависящее только от

Решение. Волновое уравнение в сферических координатах имеет вид

Если зависит лишь от то оно удовлетворяет уравнению

Из него следует, что где произвольные функции, которые надо выбрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия. Функция изображает сферическую волну, расходящуюся со скоростью с из начала координат по всем направлениям, а функция сферическую волну, идущую из бесконечности и сжимающуюся к началу координат.