§ 81. Неоднородные диэлектрики

Рассмотрим два типа неоднородных диэлектриков: 1) диэлектрики, в которых является непрерывной функцией координат и 2) диэлектрики, состоящие из разделенных резкими границами однородных частей, каждая из которых обладает своим значением диэлектрического коэффициента

В первом случае потенциал определяется уравнением

из которого можно определить если известны как функции координат.

Во втором случае потенциал в каждой однородной области удовлетворяет уравнению Пуассона

где а — номер области. На границе каждых двух областей надо учитывать граничные условия

и в бесконечности

Чтобы на границах областей поле было конечно, необходимо потребовать непрерывность потенциала на границе

Это условие предполагает отсутствие двойных электрических слоев.

Задача

В бесконечный однородный диэлектрик с диэлектрическим коэффициентом введен диэлектрический шар радиуса а с диэлектрическим коэффициентом В центре шара находится свободный точечный заряд Определить векторы и поверхностный связанный заряд на границе диэлектриков.

Решение. Начало координат выберем в точке, занимаемой зарядом. В силу сферической симметрии сводится поэтому потенциалы в областях 1 и 2 удовлетворяют уравнениям

Отсюда

Из условия следует, что Касательные составляющие напряженностей равны нулю. Поэтому граничное условие автоматически выполнено. Постоянная определяется из граничного условия для индукции. Напряженности и векторы индукции согласно равны

Нормаль к границе раздела совпадает с Свободных поверхностных зарядов нет. Поэтому при Откуда Следовательно,

Постоянная С находится из условия непрерывности потенциала то есть

Следовательно,

Поверхностный связанный заряд на границе

Следовательно, при если если Картина линий векторов в случае изображена соответственно на рисунке На границе а линии непрерывны, так как а линии разрывны, так как

Рис. 34.