9. Союзное интегральное уравнение.

Для дальнейшего развития теории будем рассматривать наряду с уравнением (42) другое интегральное уравнение, которое отличается от уравнения (42) тем, что интегрирование производится по первой переменной

ядра. Свободный член этого уравнения обозначим через , а искомую функцию — через :

Это уравнение называется союзным уравнению (42).

Напишем и соответствующее однородное уравнение:

При прежних обозначениях аргументов ядра мы должны определить ядро этого уравнения следующей формулой:

Символ (49) для ядра получится из того же символа для заменой на и наоборот, т. е.

Формулы (51) показывают затем, что для ядра коэффициенты будут такими же, что и для ядра а из (56) вытекает, что коэффициенты ядра получаются из аналогичных коэффициентов для простой перестановкой аргументов . Таким образом, мы видим, что числитель и знаменатель в формуле (57) для союзного уравнения (64) выражаются через аналогичные величины для уравнения (42) по формулам:

т. e. числитель получается перестановкой аргументов s и t, а знаменатель Фредгольма для союзного уравнения (64) будет тем что и для уравнения (42). Отсюда следует, между прочим, что союзное уравнение имеет те же характеристические значения, что и основное уравнение.

Для союзного уравнения справедливы, конечно, все сформулированные в [8] теоремы. Кроме того, на основании сказанного выше можем утверждать:

Теорема 6. Однородное уравнение (60) и союзное с ним уравнение (65) одновременно или имеют только нулевое решение или имеют решения, отличные от нуля.