76. Примеры.

1. Рассмотрим функционал полагая

К такому функционалу приводит так называемая задача о брахистохроне: среди линий, соединяющих две данные точки найти ту, двигаясь по которой, свободно пущенная материальная точка пройдет весь путь в кратчайшее время. При этом считается, что ось у направлена вертикально вниз, т. е. по направлению действия силы тяжести. В функционале (42) подынтегральная функция не содержит и мы можем сразу написать первый интеграл уравнения Эйлера:

или

Полагая

откуда

после подстановки в (43) и упрощения найдем

и, следовательно,

Отсюда видно, что экстремали функционала (42) суть циклоиды. Постоянные определяются заданием начальной и конечной точек. Если одна из этих точек — начало координат, то надо положить и начало координат получается при значении параметра и, равном нулю. Отметим при этом тот факт, что рассмотренная задача обладает некоторой особенностью, а именно, при как нетрудно проверить, обращается в бесконечность, и знаменатель в подынтегральной функции интеграла (42) обращается в нуль. Если в этом интеграле перейти к переменной то особенность при исчезает.

2. Пусть координатные параметры, определяющие положение гочки на некоторой поверхности, и

- квадрат элемента длины линии на этой поверхности [II; 142].

Геодезическими линиями на поверхности называются линии, которые определяются из необходимого условия минимума интеграла

выражающего длину кривой, причем вдоль кривой мы считаем v функцией от и. Уравнение Эйлера будет иметь вид

Рассмотрим сферу с центром в начале и радиусом единица:

При этом

и интеграл (44) будет

где производная от по 0. Подынтегральная функция Не содержит и, следовательно, мы имеем следующий интеграл:

Положив получим очевидное решение Иначе говоря, геодезическими линиями будут все меридианы сферы, т. е. все большие круги, проходящие через полюсы сфер, в которых Ввиду произвольности выбора полюса, очевидно, что все большие круги сферы будут ее геодезическими линиями.

3. Рассмотрим задачу геометрической оптики в пространстве:

для того случая, когда скорость v или показатель преломления не зависят от

Если для интеграла (45) мы напишем уравнения Эйлера и решим их относительно , то получим уравнения

и мы имеем, как нетрудно проверить, первый интеграл:

Если не содержит и переменной у, то первое из уравнений (46) дает и, следовательно, всякая экстремаль есть плоская кривая, лежащая в плоскости, параллельной оси . Если положить , то получим задачу о брахистохроне в пространстве, причем ось имеет направление действия силы тяжести.

Положим теперь причем мы будем рассматривать только полупространство, для точек которого имеет положительное значение. Подставляя в формулу получим для функции уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

откуда

Вводя вместо С новую произвольную постоянную, и вместо постоянную и заменяя, в силу

можем переписать предыдущую формулу в виде

Таким образом, для интеграла

экстремалями будут полуокружности, являющиеся пересечением сфер (48), имеющих центр в плоскости с плоскостями перпендикулярными К ПЛОСКОСТИ

Можно дать полученному результату интересное геометрическое толкование. Если в полупространстве мы определим элемент длины, т. е. метрику, формулой

то интеграл (45) будет выражать длину кривой при принятой метрике. В силу наличия в знаменателе под знаком интеграла длина кривой будет беспредельно увеличиваться при приближении этой кривой к плоскости , т. е. эта плоскость будет как бы бесконечно далекой плоскостью для геометрии с построенной метрикой.

Упомянутые выше полуокружности будут играть роль прямых в этой геометрии. Кроме этих полуокружностей, будем называть прямыми в этой геометрии полупрямые, перпендикулярные к плоскости z = 0. Эти полупрямые являются вырождением упомянутых полуокружностей. Плоскостями назовем полусферы с центром в плоскости или полуплоскости, перпендикулярные к плоскости При таких определениях для точек, прямых и плоскостей этой новой геометрии будут выполнены, как нетрудно проверить, все аксиомы обычной евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных прямых, т. е. мы имеем, таким образом, в полупространстве просто осуществление геометрии Лобачевского. Отметим, что в случае прямой, перпендикулярной к плоскости мы не можем принимать за независимую переменную. Для того чтобы не связывать себя выбором независимого переменного, мы должны искать уравнение экстремали в параметрической форме: . При этом указанный выше интеграл запишется в виде

В дальнейшем мы рассмотрим основную задачу вариационного исчисления в случае параметрического задания линии. При таком параметрическом задании указанные выше полупрямые будут экстремалями интеграла .

В плоском случае мы будем иметь интеграл вида

и экстремалями будут окружности, имеющие центр на оси или прямые, перпендикулярные к этой оси. В полуплоскости упомянутые полуокружности и полупрямые будут играть роль прямых, и мы будем иметь в упомянутой полуплоскости осуществление плоской геометрии Лобачевского. В частности, через всякие две точки упомянутой полуплоскости будет проходить одна и только одна экстремаль.

4. Среди линий, соединяющих точки плоскости XY, требуется найти ту, которая при вращении вокруг оси образует поверхность с наименьшей площадью. Площадь поверхности вращения выражается интегралом [I; 106]:

и, откидывая постоянный множитель мы придем к задаче об экстремуме интеграла:

В данном случае подынтегральная функция не содержит и мы можем написать интеграл (38) уравнения Эйлера:

Интегрируя, найдем

или

и окончательно:

Таким образом, экстремали суть цепные линии, имеющие ось симметрии, параллельную оси ОУ [I; 178]. Можно показать, что в рассматриваемой задаче через две данные точки не всегда проходит одна и только одна экстремаль. В зависимости от положения этих точек таких экстремалей может быть две, одна или ни одной.

Как мы видели выше, геодезическими линиями на сфере являются большие круги этой сферы. Если точки сферы не являются концами одного и того же диаметра сферы, то их можно соединить двумя дугами одного и только одного большого круга. Если же точки лежат на концах одного и того же диаметра, то их можно соединить бесчисленным множеством полуокружностей больших кругов сферы.

Уравнение Эйлера является лишь необходимым условием экстремума соответствующего функционала, так что мы не можем утверждать, что найденная экстремаль дает действительно экстремум соответствующему функционалу. В дальнейшем мы укажем и некоторые достаточные условия. В случае геодезических линий на сфере минимум расстояния будет давать меньшая из двух дуг большого круга, соединяющих точки Никакая линия поверхности, соединяющая точки не может давать наибольшего расстояния между точками Очевидно, можно провести на поверхности сколь угодно близкую линию, соединяющую , с длиной большей, чем длина взятой линии.

5. Рассмотрим задачу на экстремум интеграла

Как мы видели [70], к этой задаче приводится задача отыскания поверхности с наименьшей площадью, натянутой на данный контур. Если мы натянем на заданный контур какую-нибудь поверхность, то совершенно очевидно, что мы можем построить сколь угодно близкую к ней поверхность, натянутую на тот же контур, с большей площадью, и, следовательно, в данном случае экстремум интеграла может сводиться только к его наименьшему значению. Подставляя подынтегральное выражение в уравнение (34), мы получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка для искомых минимальных поверхностей:

Напомним, что средняя кривизна поверхности определяется формулой [II; 146]:

где суть коэффициенты первой и второй форм Гаусса. В случае явного задания уравнения поверхности мы имеем [II; 143]:

и уравнение (49) выражает тот же факт, что во всех точках минимальной поверхности средняя кривизна должна быть равна нулю. Этот результат был нами получен и раньше при помощи вариации элемента площади поверхности

Уравнение (49) есть уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, аналогичное, в известном отношении, уравнению Лапласа. Покажем, что при помощи аналитических функций комплексного переменного мы можем получить решения уравнения (49), совершенно так же, как раньше мы получали решения уравнения Лапласа также при помощи аналитических функций комплексного переменного Из формулы (50) непосредственно следует, что мы получим если для поверхности выполнены условия: Пусть — радиус-вектор поверхности, имеющий составляющие . Предыдущие условия могут быть записаны в виде [II; 143]:

где - единичный вектор нормали к поверхности. Эти условия будут наверное удовлетворены, если мы подчиним следующим условиям:

Первые два из написанных равенств суть скалярные равенства, а третье — векторное. В развернутой форме они могут быть записаны следующим образом.

Равенство (51), очевидно, не выполняется, если производные от координат по u и v имеют вещественные значения. Допустим, что координаты суть аналитические функции комплексных, переменных u и у. Равенства (52) показывают, что должны представляться в виде суммы функции только от и и функции только от

причем в силу (51) мы должны иметь

Положим . Для того чтобы иметь вещественную поверхность, мы допустим, что имеет значения, комплексно сопряженные с . Точнее говоря, мы будем считать, что и функции имеют комплексно сопряженные значения по отношению к в точках, симметричных относительно вещественной оси. Формулы (53) при этом примут вид

где Re - знак вещественной части. Включая множитель 2 под знак вещественной части и функциональной зависимости, мы можем переписать наши мулы в виде

где аналитические функции должны подчиняться условию:

В параметрическом представлении (54) роль вещественных параметров играют , т. е. вещественная и мнимая части комплексного переменного и. Мы можем принять за независимую комплексную переменную одну из функций Например, можем положить и считать, что первые две функции суть функции комплексного переменного U Они должны быть связаны соотношением:

Мы видим, таким образом, что совокупность полученных нами минимальных поверхностей зависит от одной аналитической функции. Так, например, мы можем написать

где произвольная аналитическая функция комплексного переменного t. Можно пользоваться более симметричной записью, а именно:

где - произвольная аналитическая функция. Нетрудно проверить, что функции, стоящие под знаком вещественной части, действительно удовлетворяют соотношению (55).

6. Рассмотрим функционал

где В — некоторая ограниченная область плоскости . В силу (34) уравнение Остроградского для этого функционала имеет вид

т. е. это есть уравнение Лапласа. Мы вправе ожидать, что гармоническая функция, имеющая заданные предельные значения на контуре l области дает функционалу (56) наименьшее значение, по сравнению со всеми другими функциями, непрерывными в замкнутой области В, имеющими внутри В непрерывные частные производные первого порядка и принимающими на l те же предельные значения, что и упомянутая выше гармоническая функция. Но мы не имеем строгого доказательства этого утверждения, поскольку уравнение Остроградского дает только необходимое условие экстремума и, кроме того, надо помнить, что при выводе этого уравнения мы предполагали существование непрерывных вторых производных у искомой функции. Будем считать, что В есть круг с центром в начале координат и радиусом единица.

Мы знаем, что при любых заданных непрерывных значениях на контуре существует единственная гармоническая функция у, решающая задачу Дирихле при заданных контурных значениях. Но мы ничего не можем утверждать о поведении первых производных этой функции при приближении к контуру, и, следовательно, не можем утверждать, что дляпостроенной гармонической функции функционал (56) имеет конечное значение. Действительно, оказывается, что можно задать такие непрерывные предельные значения на контуре, что функционал (56) для построенной гармонической функции будет равен , т. е., точнее говоря, если мы возьмем интеграл (56) по концентрическому кругу радиуса , меньшего единицы, то при этот интеграл будет беспредельно возрастать. Можно показать, что при этом функционал (56) будет равен и для любой функции с непрерывными производными первого порядка, имеющей те же предельные значения.

Вообще, имеет место следующая теорема, если при заданных предельных значениях на контуре I функционал (56) имеет конечное значение для некоторой функции и, то он имеет конечное значение и для гармонической функции v с теми же предельными значениями, причем и знак равенства имеет место только в том случае, если и совпадает с

Доказательство этого предложения будет дано ниже, а сейчас докажем эту теорему при дополнительном предположении, что гармоническая функция v имеет внутри круга ограниченные частные производные первого порядка. При этом интеграл (56) имеет для этой функции, очевидно, конечное значение. Функцию и мы можем представить в виде где обращается в нуль на контуре области, а внутри имеет непрерывные производные первого порядка. Функционал (56) для этой функции может быть записан в виде

Применим формулу Грина к кругу с радиусом

Поскольку v есть гармоническая функция, двойной интеграл в правой части обращается в нуль, а в криволинейном интеграле, взятом по окружности радиуса при стремлении к единице, стремится к нулю равномерно по отношению к полярному углу, a остается ограниченной, и в пределе этот интеграл, очевидно, обращается в нуль. Таким образом, в пределе и интеграл, стоящий в левой части, обращается в нуль, и формула (57) может быть написана в виде

Но мы имеем, очевидно, причем знак равенства может иметь место только в том случае, если обращается тождественно в нуль в круге В. Таким образом, мы действительно имеем причем знак равенства может иметь место только в том случае, если и совпадает с v.