97. Случай нескольких функций.
Приведем результаты, аналогичные результатам из [95] и [96], для случая нескольких функций, т. е. для функционалов вида
Методы доказательств принципиально те же, что и выше.
Положим, что 
- экстремаль функционала (216), т. е. функции 
удовлетворяют уравнениям Эйлера из [73]. Пусть 
- добавки к функциям 
удовлетворяющие обычным условиям гладкости и предельным условиям
Подставляя функции 
в выражение F и ее производных по аргументам 
получаем две квадратные таблицы функций от 
В дальнейшем для краткости воспользуемся обозначениями
через 
будем обозначать результат линейного преобразования
и аналогично для 
. Вторая вариация приводится при 
к формуле
аналогичной (194).
Условие Лежандра выражается положительностью квадратичной формы с коэффициентами 
при всех 
из промежутка 
, т. е. неравенством
при всех вещественных 
а усиленное условие Лежандра положительной определенностью упомянутой формы, т. е.
где с — некоторое положительное число.
Роль уравнения (200) играет система уравнений Эйлера [73] для квадратичного функционала (218):
Пусть
— определитель порядка 
с элементами 
Усиленное условие Якоби состоит в том, что 
не обращается в нуль при Доказывается, что если для экстремали 
выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби, то такая экстремаль дает слабый минимум функционалу (216).
