56. Нагруженные интегральные уравнения.

При изложении теории интегральных уравнений с непрерывным ядром мы исходили из обычного понятия интеграла. Можно повторить всю теорию или ее часть, исходя из другого понятия об интеграле. Мы уже упоминали выше о возможнрсти построения теории интегральных уравнений на основе интеграла Лебега. Существенным является то обстоятельство, чтобы интеграл, который мы рассматриваем при построении теории, обладал всеми теми свойствами, которые мы используем при построении теории. В настоящем

параграфе мы укажем на новое понятие об интеграле, на основе которого может быть построена вся изложенная в начале настоящей главы теория интегральных уравнений. Приведенные ниже результаты принадлежат Кнезеру.

Мы ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть непрерывная в конечном промежутке функция, — фиксированные точки в этом промежутке и некоторые положительные числа. Определим интеграл от по промежутку как сумму обычного интеграла и произведений значений функции в точках на числа . В отличие от обычного интеграла, будем ставить над знаком интеграла черту. Данное выше определение выражается следующей формулой:

Непосредственно очевидны следующие обычные свойства интеграла:

Далее, при последовательном интегрировании по промежутку можно переставлять порядок, т. е.

Действительно, применяя непосредственно определение (359), нетрудно привести обе части написанного равенства к виду

До сих пор мы не использовали положительность коэффициентов . В следующем свойстве это уже будет для нас важно. Если , то и интеграл (359) также имеет не отрицательную величину, и он может равняться нулю только в том случае, если . Совершенно такое же свойство имеет место и для повторного интеграла. Отсюда, как всегда, вытекает справедливость неравенства Буняковского для нового понятия интеграла. Если то существует такая положительная постоянная k, что

имеет место неравенство

При мы можем, очевидно, считать .

Из последнего свойства вытекает, как всегда [I; 145], что равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать при новом понятии интеграла. Пользуясь этим понятием интеграла, можно повторить дословно всю теорию интегральных уравнений с непрерывным ядром. Если очевидно, мы имеем

Интегральное уравнение

равносильно, очевидно, следующему уравнению с обычным интегралом:

Характеристические значения и собственные функции, как всегда, будут определяться из однородного уравнения:

В случае симметрии ядра собственные функции можно считать ортогональными:

или

Остаются, конечно, справедливыми теорема Гильберта — Шмидта и теорема Мерсера. Уравнения вида (360) называются нагруженными интегральными уравнениями.

Рассмотрим один пример. Возьмем симметричное ядро равное s при равное t при причем основным промежутком является промежуток [0,1] Положим, что в формуле (359) и что единственное дополнительное слагаемое в правой части берется при т. е.

Однородное уравнение

может быть переписано в виде

Дифференцируя по s, получим

еще раз дифференцируя, придем к уравнению

Из (362) и (363) вытекают следующие два предельных условия: Наоборот, легко видим, что решение (364), удовлетворяющее указанным условиям, является решением интегрального уравнения (362). Если то мы имеем обычное интегральное уравнение, и предельные условия не содержат параметра Полагая мы в сипу первого из предельных условии имеем: и второе условие дает уравнение для определения а именно

Уравнения более общего типа были рассмотрены Лихтенштейном. Пусть В — некоторая область на плоскости и ее контур. Лихтенштейн рассматривал уравнения вида

где фиксированные точки, принадлежащие замкнутой области В. Это уравнение можно записать в обычной форме, если ввести новое ядро и новый дифференциал: пусть М принадлежит замкнутой области В и N отлично от Полагаем:

и пусть

если N совпадает с . При этом уравнение (365) запишется в виде

и может быть повторена вся теория Фредгольма. Отметим только, что при этом решение союзного уравнения

при непрерывности f (М) будет иметь, вообще говоря, разрыв непрерывности при переходе на контур l и в точках . То же можно сказать и о решениях однородного союзного уравнения.

Предыдущие результаты справедливы и в трехмерном пространстве. Другой метод исследования нагруженных интегральных уравнений дан в работе Н. М. Гюнтера.