Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 56. Нагруженные интегральные уравнения.При изложении теории интегральных уравнений с непрерывным ядром мы исходили из обычного понятия интеграла. Можно повторить всю теорию или ее часть, исходя из другого понятия об интеграле. Мы уже упоминали выше о возможнрсти построения теории интегральных уравнений на основе интеграла Лебега. Существенным является то обстоятельство, чтобы интеграл, который мы рассматриваем при построении теории, обладал всеми теми свойствами, которые мы используем при построении теории. В настоящем параграфе мы укажем на новое понятие об интеграле, на основе которого может быть построена вся изложенная в начале настоящей главы теория интегральных уравнений. Приведенные ниже результаты принадлежат Кнезеру. Мы ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть
Непосредственно очевидны следующие обычные свойства интеграла:
Далее, при последовательном интегрировании по промежутку
Действительно, применяя непосредственно определение (359), нетрудно привести обе части написанного равенства к виду
До сих пор мы не использовали положительность коэффициентов имеет место неравенство
При Из последнего свойства вытекает, как всегда [I; 145], что равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать при новом понятии интеграла. Пользуясь этим понятием интеграла, можно повторить дословно всю теорию интегральных уравнений с непрерывным ядром. Если
Интегральное уравнение
равносильно, очевидно, следующему уравнению с обычным интегралом:
Характеристические значения и собственные функции, как всегда, будут определяться из однородного уравнения:
В случае симметрии ядра собственные функции можно считать ортогональными:
или
Остаются, конечно, справедливыми теорема Гильберта — Шмидта и теорема Мерсера. Уравнения вида (360) называются нагруженными интегральными уравнениями. Рассмотрим один пример. Возьмем симметричное ядро
Однородное уравнение
может быть переписано в виде
Дифференцируя по s, получим
еще раз дифференцируя, придем к уравнению
Из (362) и (363) вытекают следующие два предельных условия: Уравнения более общего типа были рассмотрены Лихтенштейном. Пусть В — некоторая область на плоскости и
где
и пусть
если N совпадает с
и может быть повторена вся теория Фредгольма. Отметим только, что при этом решение союзного уравнения
при непрерывности f (М) будет иметь, вообще говоря, разрыв непрерывности при переходе на контур l и в точках Предыдущие результаты справедливы и в трехмерном пространстве. Другой метод исследования нагруженных интегральных уравнений дан в работе Н. М. Гюнтера.
|
1 |
Оглавление
|