93. Односторонний экстремум.

Выше мы рассматривали задачу [76]: среди линий, соединяющих точки плоскости найти ту, которая при вращении вокруг оси ОХ образует поверхность с наименьшей площадью.

Функционал, соответствующий этой задаче, имеет вид

Строго говоря, мы должны при этом поставить условие, чтобы кривая лежала над осью ОХ, т. е. чтобы выполнялось неравенство

. Такие задачи вариационного исчисления, при которых искомые функции (или их производные) должны подчиняться некоторым неравенствам, называются обычно задачами на односторонний экстремум.

Рассмотрим простейшую задачу об экстремуме функционала

при дополнительном условии вида

где заданная функция, имеющая непрерывную производную. Иными словами, искомая кривая должна находиться над кривой . Кроме того, искомая кривая должна проходить через заданные точки . Искомая кривая может состоять из участков, находящихся над кривой и из участков самой этой кривой. На рис. 3 мы имеем два участка , находящихся над кривой, и участок АВ самой кривой. Для участков возможна двусторонняя вариация и, как всегда, эти участки должны быть экстремалями интеграла (190). На участке АВ возможна лишь односторонняя вариация, при которой Принимая во внимание формулу (17) для вариации интеграла (190), можем утверждать, что для минимума этого интеграла необходимо, чтобы вдоль АВ мы имели:

Рис. 3.

Кроме того, для существования экстремума должно быть выполнено некоторое условие в точках А и В. Не останавливаясь на выяснении этого вопроса, отметим лишь, что в простейшем случае это условие сводится к тому, чтобы в точках А и В линии имели общую касательную с линией АВ.