коэффициент при а будет равен нулю [74]:
Принимая это во внимание, получим
причем функции 
в (284) имеют аргументы 
где 
- частные производные от 
по х и у, а функции 
удовлетворяют неравенствам 
Из (281) и (282) следует, что выражение, стоящее в квадратных скобках, есть положительная величина, и следовательно, 
причем равенство имеет место только при 
дает функционалу наименьшее значение по сравнению со всеми другими непрерывными функциями с непрерывными производными в В, имеющими на l те же значения, что и 
Условия (281) и (282) можно, очевидно, записать в виде одного неравенства 
которое должно выполняться при всех значениях вещественных параметров 
. Совершенно аналогично, для функционалов вида
при любом 
неравенство
в котором 
- произвольные вещественные параметры, не равные одновременно нулю, гарантирует то, что решение 
уравнения Остроградского 
дает 
наименьшее значение функционалу J по сравнению со всеми гладкими функциями, совпадающими на 
.
Если подынтегральная функция содержит и саму функцию и 
то условие (285) надо заменить следующим:
при любых вещественных значениях 
таких, что
их, 
и подынтегральная функция не содержит 
. Пусть В — конечная односвязная область с гладкой границей, 
непрерывна по всем своим аргументам и имеет непрерывные производные до второго порядка по 
и q при всех 
и q из промежутка 
когда точка 
принадлежит замкнутой области В. Положим, что при этих условиях выполнены неравенства
с непрерывными производными до второго порядка внутри В, причем сама функция 
и ее первые производные непрерывны в В. Пусть 
любая функция, непрерывная вместе с производными первого порядка в В и равная нулю на границе l в области В. Разложим функционал 
по степеням а до порядка 
и положим затем 
Из условий для 
следует, что
