99. Примеры.

1. Рассмотрим функционал, соответствующий задаче геометрической оптики на плоскости

В данном случае

при любом значении т. е. выполнено условие (231) и, следовательно, если экстремаль, проходящую через точки можно окружить полем, то она дает сильный минимум рассматриваемому функционалу. В случае экстремалями в полуплоскости будут полуокружности, ортогональные к оси ОХ. Если точки верхней полуплоскости не лежат на прямой, перпендикулярной к оси ОХ, то через эти две точки проходит одна определенная экстремаль, и ее можно окружить полем.

2. Возьмем случай т. е. рассмотрим интеграл

Подынтегральная функция не содержит и уравнение Эйлера имеет интеграл

Решая последнее равенство относительно у и интегрируя, получим общий интеграл уравнения Эйлера:

который представляет собой семейство парабол.

При получаем в качестве экстремалей прямые, параллельные оси OY. Рассмотрим пучок экстремалей, выходящих из начала координат, т. е. примем начальные условия:

Определяя по этим начальным данным получаем

Дифференцируя по а и исключая а, находим огибающую этого семейства парабол:

Это будет парабола с вершиной и с осью . На части экстремали от начала координат до любой точки, которая предшествует точке касания зтой параболы с огибающей, выполнено усиленное условие Якоби. Кроме того, в силу неравенства

выполнено и усиленное условие Лежандра, т. е. такую часть экстремали можно окружить полем и, в силу сказанного в предыдущем примере, эта дуга экстремали дает сильный минимум нашему функционалу. Отметим, что из вида нашего функционала вытекает условие т. е. мы имеем в данном случае задачу на односторонний экстремум. В полуплоскости все обстоит обычным образом.

3. Рассмотрим интеграл и положим, что требуется провести экстремаль через точки .

Уравнение Эйлера имеет общий интеграл и экстремаль проходит через заданные точки. В данном случае

т. е. на экстремали мы имеем и выполнено усиленное условие Лежандра. Уравнение Якоби (200) будет в данном случае и его решение, удовлетворяющее начальным условиям (202), будет Оно не имеет вовсе корней, кроме начального корня Таким образом, вдоль отрезка экстремали выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби, и этрт отрезок экстремали дает слабый минимум нашему функционалу.

Функция Вейерштрасса (227) имеет вид

Рис. 4.

Вдоль нашей экстремали левая часть неравенства (229) имеет вид

и существуют значения при которых неравенство (229) не выполнено, т. е. экстремаль не может давать сильного минимума.

4. Задача определения геодезических линий на заданной поверхности приводит к функционалу [76]:

где Е, F и G— заданные функции и трехчлен, стоящий под знаком радикала, может принимать лишь положительные значения, т. е.

Мы имеем:

и условие (231) выполнено, т. е. если геодезическую линию можно окружить полем геодезических линий, то она дает сильный минимум нашему функционалу при заданных концах. В частности, на сфере дугу большого круга, меньшую по радианной мере, можно окружить полем, состоящим из дуг больших кругов.