17. Интегральные уравнения с полярным ядром.

Рассмотрим интегральное уравнение с ядром вида (102)

где заданная и искомая непрерывные в функции. Положим сначала, что , не есть характеристическое значение, т. е. уравнение

имеет только нулевое решение. Покажем, что при этом и однородное уравнение

имеет только нулевое решение при всех у, достаточно близких к нулю. Доказываем от обратного. Пусть существует последовательность положительных чисел стремящихся к нулю, такая, что уравнения имеют решения

отличные от нулевого. Принимая во внимание, что эти решения определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что

причем при некотором значении s достигается знак равенства. В силу леммы из равностепенно непрерывны, и из последовательности можно выделить подпоследовательность, равномерно стремящуюся к некоторой предельной функции Переходя в формуле (112) к пределу, получим

В силу равномерности предельного перехода и наличия знака равенства в (113) при некотором s, можем утверждать, что непрерывная функция , т. е. К есть характеристическое значение уравнения (111), а это противоречит выше сделанному предположению, т. е. уравнение при всех достаточно близких к нулю, имеет только нулевое решение, и можно утверждать, что уравнения

с непрерывным ядром имеют единственное решение при любой Покажем, что эти решения при всех у, достаточно близких к нулю, ограничены по модулю одним и тем же числом. Пусть . Надо показать, что не существует последовательности которая стремилась бы к при Пусть такая последовательность есть. Мы имеем

причем при некотором выборе s достигается знак равенства. Полагаем в равенстве и делим обе части на :

Второе слагаемое правой части стремится к нулю равномерно в первое слагаемое в силу (115) и леммы [16] дает последовательность равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций. Мы можем в силу теоремы Арцела считать, что первое слагаемое при стремится равномерно в к предельной функции. Тем самым и левая часть должна стремиться равномерно в к некоторой предельной функции которая не есть тождественный нуль, так как в (116) достигается знак равенства. Переходя в (117) к пределу, получим (114), т. е. оказывается, что К — характеристическое значение уравнения (111), что противоречит предположению. Итак, все функции при у, достаточно близких к нулю, ограничены по модулю одним и тем же числом. После этого из (110) и леммы [16] следует, что функции равностепенно непрерывны. Пользуясь еще раз теоремой Арцела и переходя к пределу, получим

где — некоторая непрерывная функция.

Таким образом, мы показали, что если является характеристическим значением уравнения (110), то это уравнение имеет решение при любом свободном члене Единственность решения непосредственно следует из того, что, по предположению, однородное уравнение (111) имеет только нулевое решение.

Рассмотрим теперь однородное уравнение, союзное с (111):

и покажем, что оно имеет также только нулевое решение. Положим обратное, и пусть решение этого уравнения, отличное от нулевого. Умножим обе части (110) на (s), интегрируем по s и в повторном интеграле переставляем порядок интегрирования согласно [16]:

откуда в силу (119) получаем условие разрешимости уравнения

(110) (ср. вывод формулы (79) из [10]):

Но мы видели, что уравнение (110) разрешимо при любой Это противоречие показывает, что однородное уравнение (119) имеет только нулевое решение.

Таким образом, для ядер вида (102) мы доказали следующее. Представляются две возможности: или уравнения

одновременно имеют решения, и притом единственные, при любых свободных членах или соответствующие однородные уравнения имеют решения, отличные от нулевого.

Замечание. Если — не характеристическое значение, то мы показали, что уравнение (115) имеет при каждом положительному, достаточно близком к нулю, единственное решение, и эти решения ограничены по модулю одним и тем же числом. Далее путем выделения подпоследовательности и предельного перехода мы получили решение исходного уравнения (110).

Нетрудно показать, пользуясь единственностью решения уравнения (110), что выделять подпоследовательность не надо. Действительно, если бы при не имело бы определенного предела в некоторой точке s, то мы могли бы выделить две подпоследовательности, которые стремились бы равномерно к двум непрерывным предельным функциям, имеющим различное значение в точке s. Таким образом, мы получили бы два различных решения уравнения (110), что невозможно, если не есть характеристическое значение. Следовательно, без всякого выбора стремится к предельной функции . Равномерность стремления к пределу вытекает из того, что функции в силу (115) ограничены по модулю и равностепенно непрерывны.