116. Неравенство Пуанкаре. Теорема Реллиха.

При исследовании свойств функций из классов важную роль играет так называемое неравенство Пуанкаре, к выводу которого мы сейчас переходим. Пусть А — m-мерный куб. Его объем обозначим через Нужное нам неравенство имеет вид

Оно справедливо для всех функций , однако мы докажем его (и в дальнейшем используем) лишь для непрерывно дифференцируемых в А функций. Можно показать, что множество всех таких функций плотно в поэтому неравенство (34) распространяется на весь класс точно так же. как выше было распространено на класс неравенство Пуанкаре-Фридрихса. Мы, однако, не останавливаемся на доказательстве упомянутого свойства плотности.

Неравенство (34) докажем, ограничиваясь для простоты случаем . Считаем, что куб А определяется неравенствами . Пусть произвольные точки из куба А. Для любой непрерывно дифференцируемой функции имеем

С помощью элементарного неравенства находим

Каждый член в правой части оценим по неравенству Буняковского, а затем усилим оценку, заменяя промежуток интегрирования на [0, а]. Мы получим

Проинтегрируем обе части полученного неравенства по причем обе точки независимо пробегают куб А:

Преобразуем интеграл, стоящий в левой части неравенства :

Учитывая это соотношение и сокращая обе части неравенства на получим . Неравенство Пуанкаре доказано.

Следствие. Пусть ограниченная область в . По любому найдется конечное число попарно ортогональных в функций таких, что и для любой функции и справедливо неравенство

Доказательство достаточно провести для функций так как на произвольные функции из неравенство (35) распространяется с помощью предельного перехода (см. доказательство неравенства (32) в [115]). Пусть А — куб, содержащий область . Все функции и продолжим нулем на . При фиксированном разобьем куб А на равные кубы число N выберем так, чтобы для кубов выполнялось неравенство

Положим если если (таким образом, если куб не пересекается с областью то Отметим, что по построению при всех . Ясно, что функции попарно ортогональны.

Из неравенства (34), написанного для функции и в кубе получаем (учитывая ):

Суммируя по всем приходим к требуемому неравенству (35).

Используем полученный результат для доказательства важной теоремы Реллиха.

Теорема. Пусть - произвольная ограниченная область в . Тогда любое множество функций и ограниченное по норме в компактно в пространстве

Утверждение теоремы Реллиха часто Выражают следующими словами: пространство вкладывается в компактно.

Доказательство. Пусть дана последовательность функций удовлетворяющих неравенству Из этого неравенства следует, что для любых номеров таким образом,

Требуется показать, что из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в

Положим и для каждого найдем функции для которых выполнено (35).

Каковы бы ни были номера числовая последовательность ограничена по модулю числом А:

Почти дословно повторяя доказательство леммы из [15] находим, что из последовательности можно выделить такую подпоследовательность для которой при всех сходятся числовые последовательности

Установим теперь, что подпоследовательность сходится в . При любом , в соответствии с выбором функций имеет место неравенство

Фиксируем произвольное сначала найдем такое , что , а затем, пользуясь сходимостью всех последовательностей найдем такой номер что при у, сумма в правой части последнего неравенства также будет . Тогда для таких

т. е. последовательность сходится в себе по норме пространства . Следовательно, она имеет в предел. Доказательство теоремы завершено.