25. Интегральное уравнение с ядром из L2.

Рассмотрим интегральное уравнение

где - конечный или бесконечный промежуток, из измеримая функция в квадрате и существует интеграл

Решение ищем также в 12.

Предварительно исследуем свойства оператора вида (153) с ядром, удовлетворяющим условию (158). Ядро по t (по s) принадлежит при почти всех s (при почти всех t). Интеграл (153), следовательно, существует при любой из и определяет измеримую функцию на . Это замечание будет доказано в томе V при доказательстве теоремы Фубини.

Интегрируя по s и применяя неравенство Буняковского, получим

ИЛИ

где Р определяется формулой (158) Таким образом, интегральный оператор К вида (153) с ядром из является линейным ограниченным оператором в на . Заметим, что промежуток может быть и бесконечным.

Вернемся к исследованию уравнения (157). Интеграл (158) согласно теореме Фубини ПО] сводится к двум последовательным квадратурам:

где

и имеется оценка [5]:

Составим ряд

Обозначая через сумму первых его членов, получим

откуда

и при правая часть при и любом т. е. последовательность сходится в себе в Мы можем, следовательно, утверждать, что ряд сходится в 12 на к некоторой функции , которая по s и t принадлежит

причем принадлежит в по t при почти всех s из . Совершенно так же, как и выше [5], можно показать, что при уравнение (157) имеет решение из представимое формулой

Пользуясь неравенством Буняковского, легко показать, что интеграл, стоящий в правой части, имеет смысл при любой из и определяет функцию от s также из

Покажем, что при условии уравнение (157) имеет единственное решение. Пусть имеются два решения, откуда

Принимая во внимание, что , получаем

откуда следует, что эквивалентна нулю.