102. Струна и мембрана.
Прежде чем переходить к установлению вариационного принципа в общей теории упругости, мы рассмотрим ряд частных случаев упругих тел, размеры которых в одном или двух измерениях значительно больше, чем в остальных измерениях. Здесь установление вариационного принципа сводится, по существу, к некоторым предположениям о потенциальной энергии, т. е. о работе сил деформации в зависимости от формы деформируемого тела.
Пусть имеется струна, натянутая вдоль оси 
и совершающая плоские поперечные колебания в плоскости 
[II; 176]. Кинетическая энергия колеблющейся струны будет выражаться формулой
где 
— линейная плотность струны, 
абсциссы ее концов. Будем считать, что работа сил деформации выражается произведением натяжения струны 
на ее удлинение:
Разлагая радикал по биному Ньютона и ограничиваясь двумя первыми членами, мы получаем следующее выражение для потенциальной энергии деформации:
В случае внешней силы 
рассчитанной на единицу длины, нам надо добавить к потенциальной энергии еще слагаемое
окончательно принцип Остроградского—Гамильтона сведется к необходимому условию 
для интеграла
Интегрирование совершается по прямоугольнику 
на плоскости 
. На сторонах этого прямоугольника 
в случае закрепленной струны мы имеем предельное условие и 
на сторонах 
функция и должна совпадать с функциями и 
дающими форму струны в начале и конце промежутка 
Если на концы струны действуют упругие силы, то, принимая во внимание, что потенциал упругой силы пропорционален квадрату отклонения, мы должны к интегралу (244) добавить слагаемое такого вида:
По существу, этот добавочный член представляет собой интеграл по контуру упомянутого выше прямоугольника, причем на сторонах 
подынтегральная функция равна нулю, а на сторонах 
она равна 
Принимая во внимание сказанное в [84], а также то обстоятельство, что на стороне 
внешняя нормаль направлена противоположно оси 
мы будем иметь на сторонах 
естественные предельные условия вида:
Уравнение Остроградского для двойного интеграла (244) даст нам обычное уравнение колебаний струны.
Совершенно так же надо рассуждать для получения уравнения колебания мембраны [II; 189]. Положим, что в естественном состоянии мембрана натянута в плоскости 
и 
натяжение, рассчитанное на единицу длины. Работа сил деформации будет выражаться произведением 
на приращение площади
где 
— отклонение точки 
мембраны в момент времени t от положения равновесия и В — область плоскости 
занятая мембраной. Ограничиваясь малыми колебаниями, мы получим следующее выражение для интеграла (235):
Уравнение Остроградского для написанного интеграла приведет нас к известному уравнению колебания мембраны. Если на границе имеется упругая связь с коэффициентом 
, то к интегралу (245) надо добавить слагаемое
где Z — конгур мембраны. В данном случае естественные граничные условия принимаю! вид
где 
- направление внешней нормали к 
. В случае же закрепленной мембраны граничные условия будут, очевидно, и 
.
