94. Вторая вариация.

До сих пор мы занимались исследованием лишь первой вариации для функционалов различных типов. Равенство нулю этой первой вариации давало нам необходимое условие того, что данная линия или поверхность сообщает экстремум соответствующему функционалу. Это необходимое условие совершенно аналогично тому факту из дифференциального исчисления, что для того, чтобы некоторая функция нескольких переменных

достигала в некоторой точке экстремума, необходимо, чтобы в этои точке ее полный дифференциал первого порядка обращался в нуль В дифференциальном исчислении мы имели в некоторых случаях и достаточные условия, для формулировки которых нам были необходимы уже частные производные второго порядка от исследуемой функции. В вариационном исчислении установление достаточных условий представляется гораздо более трудной задачей. Мы будем рассматривать только простейший функционал

в случае закрепленных концов. Рассмотрим, как всегда, близкие кривые и определим вторую вариацию функционала (191), как тот член в разложении по степеням а, который содержит , т. е. положим

Это приводит нас непосредственно к следующей формуле:

где

Так как предполагая наличие соответствующих производных у F, интегрируя по частям и принимая во внимание, что получим

Мы считаем, что необходимое условие экстремума выполнено, т. е. что кривая является экстремалью. Будем для определенности говорить о минимуме интеграла (191). Функция должна иметь минимум при следовательно, необходимым условием минимума является тот факт, чтобы при любом выборе Покажем, что отсюда непосредственно вытекает, что вдоль нашей кривой должно иметь место неравенство 0. Действительно, положим, что при некотором значении мы имеем на нашей кривой обратное неравенство . В силу предполагаемой непрерывности это неравенство будет иметь место и на некотором достаточно малом промежутке . Определим теперь функцию так, чтобы она обращалась

в нуль вне упомянутого промежутка и на его концах, имела все необходимые производные, была достаточно малой по абсолютной величине на упомянутом промежутке, но совершала бы на этом промежутке достаточно быстрые колебания. При таком выборе функции интеграл (194) сведется к интегралу по промежутку , в котором функция имеет, по предположению, отрицательные значения. Под знаком интеграла будет превалировать слагаемое, содержащее и величина интеграла окажется отрицательной, что противоречит указанному выше необходимому условию минимума интеграла (191). Итак, для того, чтобы экстремаль давала минимум интегралу (191), необходимо, чтобы вдоль этой экстремали выполнялось условие:

Аналогичным образом, для того чтобы экстремаль давала максимум интегралу (191), необходимо, чтобы вдоль этой экстремали выполнялось условие

Приведенное условие называется обычно условием Лежандра.

95. Условие Якоби. Прежде чем переходить к дальнейшему исследованию второй вариации, напомним некоторые сведения о корнях решений линейных уравнений второго порядка [II; 31]:

причем коэффициенты считаются непрерывными в замкнутом промежутке к которому и относятся все дальнейшие результаты. Если - какая-либо точка из указанного промежутка, то любые начальные данные

определяют единственное решение уравнения (196), и это решение существует во всем промежутке Если то Этим и исчерпываются все решения уравнения (196). Если лежит внутри - нетривиальное решение уравнения (196) и , то меняет знак при переходе через корень Если какие-либо два решения уравнения (196) и они имеют общий корень, то они линейно зависимы. Если эти решения имеют общий корень

то эти решения линейно зависимы

и, следовательно, имеют общие корни.

Если линейно независимы, то их корни перемежаются, т. е. между двумя последовательными корнями одного из решений лежит один и только один корень другого решения.

Сделаем некоторые добавления к сказанному выше. Пусть У о М — решение уравнения (196), удовлетворяющее условию

Положим, что это решение не имеет корней при При этом никакое решение не может иметь более одного корня в промежутке в силу упомянутой выше перемежаемости корней линейно-независимых решений, но существуют решения, не имеющие ни одного корня в промежутке . Докажем это последнее утверждение. Пусть решение уравнения (196), определяемое начальными условиями

где k — малое положительное число. Во всяком промежутке , где — фиксированное положительное число, ряд, полученный при построении решения сходится равномерно относительно k, как в этом нетрудно убедиться, и следовательно, есть непрерывная функция от k при любом из и при При решение есть по условию, а следовательно, при положительных k, достаточно близких к нулю. Отсюда непосредственно следует, что при указанных k не имеет корней в промежутке . Действительно, оба положительны. Если бы имело корни внутри , то их число не меньше двух, ибо должно менять знак при переходе через корень, а мы видели выше, что если не имеет корней при то никакое решение не может иметь более одного корня в промежутке

Возвращаемся к исследованию второй вариации и будем считать, что вдоль исследуемой экстремали выполнено условие более сильное, чем условие (195), а именно

Это — так называемое усиленное условие Лежандра.

Рассмотрим интеграл, входящий в формулу (194), заменяя букву буквой :

Уравнение Эйлера для этого интеграла имеет вид

причем в этом уравнении есть коэффициент при и в силу условия (198) мы, деля обе части его на R, получим уравнение вида (196) с непрерывными в промежутке коэффициентами Таким образом, для уравнения (200) имеет место все, что мы говорили выше о решениях уравнения (196). Принимая во внимание, что интегрируя по частям, получим при условиях и

Пусть решение уравнения (200), удовлетворяющее начальным условиям

Существенным для дальнейшего будет тот факт, имеет ли решение корни внутри промежутка Оказывается, что если такие корни имеются, то исследуемая экстремаль не может давать минимум интегралу (191).

Уравнение (200) называется обычно уравнением Якоби и, если при то говорят, что экстремаль в промежутке удовлетворяет условию Якоби, а если при то говорят, что экстремаль удовлетворяет усиленному условию Якоби. Заметим, что коэффициенты S и R уравнения (200) по самому их определению зависят от экстремали и, таким образом, высказанное выше условие является действительно условием, наложенным на экстремаль

Из сказанного выше следует, что если выполнено условие Якоби, то никакое решение уравнения (200) не может иметь внутри больше одного корня.

Предположим, что выполнены усиленные условия Якоби и Лежандра.

Рассмотрим теперь вместо решения другое решение уравнения (200), а именно, решение удовлетворяющее начальным данным

где настолько мало, что решение строго положительно во всем замкнутом промежутке Пользуясь этим решением уравнения (200), мы сможем сейчас привести выражение (194) к такому виду, из которого будет непосредственно следовать, что .

Пусть - любая функция с непрерывной производной. Мы имеем очевидное равенство:

поскольку подынтегральная функция представляет собой полную производную от функции , равной нулю на концах промежутка. Умножая написанный интеграл на у и прибавляя к правой части формулы (194), получим

Потребуем, чтобы подынтегральная функция в написанном интеграле была полным квадратом, что сводится к равенству:

Полагая в этом уравнении мы придем как раз к уравнению (200), т. е. в качестве функции о мы можем взять функцию причем для нас существенно, что не обращается в нуль во всем замкнутом промежутке При таком выборе функции <в мы приведем формулу (194) к виду

откуда следует причем только в случае

Но из (205) и того, что , следует, что при ибо

Таким образом, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Если экстремаль удовлетворяет усиленным условиям Лежандра и Якоби, то для такой экстремали

причем знак равенства имеет место только в случае

Следствие. Рассмотрим теперь вместо функционала (199) функционал

где k — малое положительное число. Соответственное уравнение Эйлера имеет вид

В силу усиленных условий Лежандра и Якоби для функционала (207) можно выбрать настолько малым, что в промежутке и что решение уравнения (208), удовлетворяющее начальным условиям

не обращается в нуль при При этом, применяя доказанную теорему к функционалу (207), получим для

где R и S взяты на первоначальной экстремали у = у(х).