73. Случай нескольких функций и производных высших порядков.

Нетрудно написать уравнение Эйлера и для того случая, когда функционал зависит от нескольких функций, как это имело место, например, для функционала (2).

Ограничимся случаем двух функций:

Строим две функции, близкие к

где произвольные функции, равные нулю на концах промежутка. Подставляя их в интеграл (19); получим функцию от а и и для того, чтобы давали экстремум функционалу (19), необходимо, чтобы частные производные; от по а и обращались в нуль при Производя вычисления, совершенно аналогичные предыдущим, получим для этих частных производных следующие выражения:

и так как внеинтегральные члены обращаются в нуль, то, как и выше, мы убедимся в том, что для того, чтобы функции давали экстремум функционалу (19), необходимо, чтобы они удовлетворяли следующей системе двух уравнений второго порядка:

Кроме этих уравнений мы имеем еще предельные условия:

выражающие закрепление концов искомой пространственной кривой.

В силу (20) вариация интеграла (19) выразится следующей формулой:

Для функционала, зависящего от функций:

необходимые условия экстремума будут выражаться системой уравнений второго порядка:

а предельные условия закрепления на концах будут иметь вид

Первая вариация функционала (23) имеет вид

Рассмотрим теперь тот случай, когда интеграл содержит производные искомой функции выше первого порядка:

Как и выше, построим близкую кривую , подставим в интеграл (26), продифференцируем по а и положим Таким образом мы получим

Преобразуем все слагаемые правой части, кроме первого, интегрируя несколько раз по частям:

Мы считаем, что и ее производные до порядка обращаются в нуль на концах. Вследствие этого внеинтегральные

члены пропадут; приравнивая нулю , получим условие:

которое в силу замечания к лемме 1 приводит нас к следующему уравнению Эйлера:

Это есть дифференциальное уравнение порядка . Его общий интеграл содержит произвольных постоянных, и мы должны иметь еще предельных условий. В простейшем случае эти условия сводятся к заданию функции и ее производных до порядка на концах промежутка. Из этих предельных условий и вытекает, что аналогичные величины для должны обращаться в нуль. Отметим еще, что мы считали непрерывными все те функции, которые входят в предыдущие формулы, так что, например, мы считаем, что искомая функция имеет непрерывные производные порядка (класс ).

При рассмотрении функционалов (23) и (26) мы приходим к уравнениям (24) и (29), предполагая в первом случае, что функции имеют непрерывные производные до второго порядка, а во второго случае, что имеет непрерывные производные до порядка Можно при некоторых предположениях доказать, что это будет действительно так. Для функционала (23) имеет место следующее утверждение: если функции дают экстремум функционалу (23), и определитель

отличен от нуля вдоль линии , то имеют непрерывные производные второго порядка. В случае функционала (26) равенство нулю первой вариации приводит к уравнению:

где некоторые постоянные. Это основано на следующей лемме (ср. лемму 3 [71]).

Лемма. Если для непрерывной функции имеет место равенство

для всякой функции имеющей непрерывные производные до порядка и удовлетворяющей условиям

то есть полином степени .

Если имеет непрерывные производные до порядка то, дифференцируя уравнение (30) раз, получаем уравнение (29). Если F имеет непрерывные производные до порядка по всем своим аргументам, то соответствующие полные производные по можно раскрыть по правилу дифференцирования сложных функций [ср. (15)].