111. Свойства средних.

Докажем ряд свойств средних.

1. Если ограничена в то

Это следует из очевидного неравенства

2. Функция имеет производные по любого порядка, которые определяются формулой

Усредняющее ядро имеет производные всех порядков по во всем отличные от нуля лишь в сфере с центром и радиусом к. Будем рассматривать для простоты письма лишь производную от по . Отношение запишется в виде

Разность в квадратных скобках можно выразить по формуле конечных приращений Лагранжа, и множитель при и будет иметь вид

Под знаком интеграла стоит написанное выражение при равномерно ограниченное при всех указанных 0 и умноженное на функцию и из Таким образом, абсолютное значение подынтегральной функции имеет оценку и возможно осуществить предельный переход при под знаком интеграла [II; 109; теорема 1], так где с — постоянная, есть суммируемая функция. Это приводит к формуле (6) для производной по . Аналогичное доказательство годится и для общей формулы (6).

3. Для любой имеет место формула

Действительно, по определению

и в силу (2)

Перед доказательством следующего свойства средних сформулируем одно свойство суммируемых функций, которое будет доказано в томе V. Пусть и , где как и выше, — ограниченное открытое множество. Продолжим ее нулем вне . При этом имеет место следующее свойство, которое называется непрерывностью в среднем: при любом заданном существует такое , что при т. е.

Аналогично, если и то при любом существует такое, что

4. Если , то

т. е. средние функции стремятся в метрике при . Если , то

Рассмотрим доказательство для более сложного случая и

Из (7) по неравенству Буняковского следует

В первом интеграле область интегрирования та же, что во втором. Полагая во втором интеграле получим

откуда

или, полагая ,

Это неравенство интегрируем по и применяем теорему Фубини :

Используя непрерывность в среднем, можем утверждать, что при любом заданном существует такое что

откуда

где объем шара с единичным радиусом в . Ввиду произвольности отсюда и следует (11).

Соотношение (10) для функций из доказывается еще проще, так как в этом случае не надо применять неравенство Буняковского, а следует исходить непосредственно из неравенства

и использовать теорему Фубини и свойство непрерывности в среднем функций из Все сказанное выше имеет место и в том случае, когда - ограниченная замкнутая область или, вообще, ограниченное измеримое множество.