101. Принцип наименьшего действия.

Предположим, что ни силовая функция ни функции не содержат t. В этом случае, как известно, имеет место интеграл энергии

который выражает тот факт, что сумма кинетической энергии Т и потенциальйой энергии во все время движения сохраняет постоянное значение. Далее, в рассматриваемом случае выражения прямолинейных прямоугольных координат через координатные параметры не будут содержать, t. Кинетическая энергия будет квадратичной формой относительно производных

где суть функции . Пользуясь соотношением (237), мы можем переписать подынтегральную функцию интеграла (235) в виде

Отбрасывая постоянное слагаемое, представляя в виде и заменяя в одном из множителей его выражением, получаемым из формулы (238), мы придем к интегралу вида

Покажем, что уравнения Эйлера для этого интеграла приведут нас опять к уравнениям Лагранжа (236), которые мы получили выше. Действительно, уравнения Эйлера для интеграла (239) имеют вид

Заметим, что подынтегральная функция в интеграле (239) не содержит независимого переменного и является однородной функцией первого измерения относительно производных . Следовательно, как мы видели выше [81], одно из написанных уравнений Эйлера будет следствием остальных, и мы можем присоединить к нашим уравнениям Эйлера, еще одно уравнение, которым фиксируется выбор независимого переменного (параметра). Для того чтобы таким независимым переменным оказалось именно время, мы присоединим к уравнениям (240) уравнение

которое, очевидно, равносильно закону сохранения энергии (237). При этом уравнения (240) перейдут в уравнения Лагранжа (236). Итак, в рассматриваемом случае уравнения действительного движения получаются из необходимого условия экстремума интеграла (239) при закрепленных концах. Это утверждение составляет принцип наименьшего действия в форме Якоби.

Введем в -мерном пространстве с координатами метрику, определяемую следующим выражением дифференциала дуги:

При этом интеграл (239) может быть переписан в виде

и основная задача механики системы точек оказывается равносильной задаче о геодезических линиях в упомянутом выше -мерном пространстве. Можно показать, что для достаточно малых участков траектории действительного движения интеграл действия вдоль участков имеет слабый минимум. Рассмотрим движение одной материальной точки по некоторой поверхности S по инерции. В зтом случае мы можем считать и интеграл (239) приводится просто к виду

или, если мы ведем прямолинейные прямоугольные координаты, к виду

Траекториями движения будут геодезические линии этой поверхности.

Интеграл примера 2 из получается при применении принципа наименьшего действия к случаю одной материальной точки, находящейся под воздействием силы тяжести, причем направление оси OY совпадает с направлением силы тяжести.

Можно придать другую форму принципу наименьшего действия, которую мы сейчас укажем, не останавливаясь на доказательстве. Рассмотрим ингирал

и будем считать и функциями параметра т. Присоединим к функционалу (241) в качестве дополнительного условия уравнение (237) с фиксированным значением h. Можно показать, что действительное движение с фиксированным начальным и конечным положениями и с фиксированными начальным и конечным моментами времени t удовлетворяет необходимым условиям экстремума для функционала (241). Подчеркнем, что время следует считать функцией вспомогательного параметра и варьировать наряду с координатами Сформулированный принцип есть принцип наименьшего действия в форме Лагранжа.

Некоторую специфику имеют механические системы со связями, зависящими не только от координат, но и от скоростей. Рассмотрим наиболее распространенный случай линейных связей:

Уравнения действительногодвижения системы с такими связями таковы:

Эти k уравнений вместе с уравнениями связи дают возможность определять неизвестных функций Левая часть (243) такая же, как и в уравнениях Эйлера, правая часть представляет собой силу реакции связей.

Если выражения являются полным дифференциалом некоторых функций от координат

то условия связи можно записать так: связи в этом случае называются голономными, а уравнения (243) суть уравнения Эйлера, полученные из рассмотренной выше задачи [100].

В общем случае (т. е. когда (242) не приводится к голономным связям) механическая система называется неголономной, а уравнения (243) не являются уравнениями Эйлера для вариационного принципа с функцией .

В этом состоит отличие задачи о движении неголономной механической системы от рассмотренной в [78] вариационной задачи с неголономными связями.