108. Прямые методы вариационного исчисления.

В настоящее время широко развиты иные методы подхода к решению задач на абсолютный экстремум — методы, которые обходят применение дифференциальных уравнений. При этом пытаются построить искомую функцию, дающую абсолютный экстремум функционала, при помощи некоторого предельного процесса, исходя непосредственно из вида того интеграла, экстремум которого ищется.

В данном случае, как мы уже упоминали выше, задача представляется гораздо более трудной, чем соответствующая задача из дифференциального исчисления. В последнем случае, согласно основной теореме Вейерштрасса о непрерывных функциях, мы знаем, что всякая функция, непрерывная в замкнутой области, наверное принимает в некоторой точке этой области свое наибольшее (наименьшее) значение. В случае задач вариационного исчисления мы уже не имеем такой простой теоремы, и таким образом ставится под вопрос самое существование решения задачи.

Пусть есть некоторый функционал от искомой функции , и мы ищем эту функцию так, чтобы упомянутый выше функционал имел наименьшее значение в некотором классе D функций При любом выборе функции из класса D функционал J получает определенное численное значение. Используя все функции класса D, мы получим, таким образом, бесчисленное множестго чисел — значений функционала J. Пусть d — точная нижйяя граница этого множества чисел. Мы не знаем заранее, существует ли в классе D функция которая дает нашему функционалу это наименьшее значение d, но в силу определения точной нижней границы мы можем во всяком случае найти такую последовательность функций из класса D, что числа имеют своим пределом d при беспредельном возрастании . Последовательность функций называется обычно минимизирующей последовательностью. Одной из возможностей осуществления прямых методов вариационного исчисления является следующий прием: дается способ построения минимизирующих последовательностей с таким расчетом, чтобы из построенной минимизирующей последовательности путем некоторого предельного перехода получалась бы искомая функция, дающая наименьшее значение нашему функционалу. Если удается довести таким путем задачу до конца, то этот прием приводит к решению предельной задачи для дифференциального уравнения, которое выражает необходимое условие экстремума исследуемого функционала. Такой метод применим не только для доказательства существования решения, но и для построения практически удобного способа его приближенного вычисления. На указанном выше принципе основан известный метод Ритца для решения предельных задач. Отметим, что широкое обобщение этого метода на случай дифференциальных уравнений, не связанных с вариационным исчислением, было дано Б. Г. Галёркиным (Вестник инженеров и техников, 1915 г.). Работа Ритца была напечатана в 1908 г. (Journal fur die reine und angew. Mathem., Bd. 135).

Теоретическое обоснование прямых методов естественно приводит, особенно для уравнений с частными производными, к использованию теории функций вещественного переменного. Сейчас рассмотрим простой пример применения прямых методов. Мы еще вернемся к этим вопросам в главе III.

Исследование сходимости методов Ритца и Галёркина и вопрос об оценке погрешности были подробно проведены в ряде работ советских математиков. Изложение этих вопросов и указание соответствующей литературы имеется в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные методы высшего анализа». Исследованию сходимости методов Ритца и Б. Г. Галёркина посвящена значительная часть книги С. Г. Михлина «Вариационные методы в математической физике» (1957 г.).

Теоретическое обоснование прямых методов в связи с теоремами существования соответствующих экстремальных функций и исследованием их свойств изложено в монографии С. Л. Соболева «Некоторые применения функционального анализа в математической физике» (1950 г.).