119. Связь с краевой задачей.

Если граница S гладкая и непрерывно дифференцируемые в функции и если решение вариационнои задачи, рассмотренной в окажется элементом то будет удовлетворять уравнению

Остроградского для функционала , т. е. уравнению

и граничному условию.

Уравнение (54) выводится из тождества (51) следующим образом: преобразуем левую часть (51) с помощью интегрирования по частям и результат запишем в виде:

Так как (56) верно при любой плотно в и выражение, стоящее в квадратных скобках, принадлежит , то оно должно быть равным нулю. Краевое же условие (55) выполняется в силу свойств непрерывных элементов из о чем говорилось в Таким образом, решение вариационной задачи, принадлежащее является классическим решением (54), (55). Сказанное дает возможность считать решение вариационной задачи обобщенным решением предельной задачи (54), (55).

Представляет интерес вопрос о том, когда обобщенное решение «о задачи (54), (55) является классическим или принадлежит, например, пространству и удовлетворяет уравнению (54) для почти всех из Ответ на первый вопрос дает известная теорема Ю. Шаудера, на второй — теорема О. А. Ладыженской. Именно, если граница 5 является гладкой поверхностью класса коэффициенты суть функции из класса Гёльдера , то задача (54), (55) имеет решение из класса Гёльдера . Если же коэффициенты и имеют ограниченные в обобщенные производные первого порядка, то задача (54), (55) имеет решение из . В обоих случаях решение является обобщенным решением задачи (54), (55), т. е. решением вариационной задачи, рассмотренной в [117]. Доказательство только что сформулированной теоремы о разрешимости задачи (54), (55) в пространстве будет дано во рторой части IV тома.