52. Свертывание функций.

Пусть две непрерывные функции, определенные при . Сверткой этих двух функций называется функция определенная равенством

Эта функция, определенная при будет также непрерывной функцией. Вводя вместо t новую переменную интегрирования мы можем представить в виде

Обычно обозначают свертку функций символом

причем из (328) и (329) непосредственно вытекает, что свертка не зависит от порядка функций, т. е. Операция получения свертки называется свертыванием функций.

Положим, что к функциям применимо преобразование (327), абсолютно сходящееся в некоторой полуплоскости . Мы покажем, что для преобразование (327) также будет сходящимся в упомянутой полуплоскости и что имеет место следующая формула:

т. е. операции свертывания в области функций соответствует простое умножение в области преобразованных функций:

Для доказательства составим произведение, стоящее в правой части формулы (330):

причем переменные интегрирования мы обозначили через и и v. Написанное произведение мы можем представить в виде двойного абсолютно сходящегося интеграла по первому координатному углу плоскости

Возможность такого представления произведения (332) двойным интегралом непосредственно вытекает из абсолютной сходимости входящих в это произведение интегралов. Чтобы убедиться в этом, достаточно в этих интегралах совершить интегрирование по конечному промежутку , преобразовать такое произведение в двойной интеграл, а затем устремить к бесконечности и воспользоваться обычным определением несобственного двойного интеграла [II; 89]. В полученном двойном интеграле введем новые переменные интегрирования . Мы придем к абсолютно сходящемуся двойному интегралу

для которого область интегрирования, в старых переменных определяемая неравенствами и будет теперь определяться неравенствами т. е. на плоскости областью интегрирования будет часть первого координатного угла, лежащая над биссектрисой . Сводя двойной интеграл к двум квадратурам, получим

что и доказывает формулу (330).

Для функции мы имеем оценку

из которой вытекает, между прочим, следующее неравенство:

или, производя преобразование Дирихле [II; 82]:

Вводя в правой части вместо новую переменную интегрирования получим

или, тем более,

т. е. из абсолютной сходимости интегралов (332) в полуплоскости а следует абсолютная сходимость такого же интеграла и для Отметим, что приведение двойного интеграла по углу к двум квадратурам легко оправдать обычным образом, рассматривая сначала конечную часть угла, лежащего над биссектрисой и затем переходя к пределу. Утверждение справедливости формулы (330) называется обычно теоремой свертывания.

Совершенно аналогично предыдущему, можно ввести понятие свертывания функций и доказать теорему свертывания и для двустороннего преобразования Лапласа, а именно, — имеет место следующее утверждение: если непрерывные функции, определенные в бесконечном промежутке и интегралы абсолютно сходятся в некоторой полосе , то интеграл

будет абсолютно сходящимся при любом вещественном Преобразование Лапласа для полученной функции будет абсолютно сходящимся в упомянутой полосе, и будет иметь место формула свертывания: