33. Пространство CL2
Выше мы рассматривали ограниченные операторы в 
и доказали ряд их свойств. Техника, связанная с использованием понятий скалярного произведения, ортогональности функций и т. п., полезна также в теории линейных операторов, действующих в классе С непрерывных на 
функций. К числу таких операторов, как мы знаем ([4], [16]), относятся, например, интегральные операторы с непрерывным или полярным ядром. Мы введем сейчас понятия, позволяющие рассматривать теорию таких операторов параллельно с теорией операторов, действующих в пространстве 
Обозначим через 
пространство функций, непрерывных на конечном промежутке 
с такими же, как в 
определениями скалярного произведения, нормы элемента и сходимости. Элементы этого функционального пространства, как и раньше, обозначаем через 
и т. д. Основное отличие пространства 
от С — отсутствие свойства полноты: если последовательность 
непрерывных на 
функций сходится в себе по норме пространства 
т. е.
то не всегда существует непрерывная функция 
такая, что 
Понятия ограниченного линейного оператора в 
а также самосопряженного оператора, вводятся так же, как и в классе 
То же относится и к понятию вполне непрерывного оператора: линейный оператор К в 
называется вполне непрерывным, если он преобразует любое ограниченное по норме множество функций в компактное.
Из оценки, приведенной в [4], и из теоремы Арцела [15] следует, что интегральный оператор с непрерывным ядром вполне непрерывен в 
Тем же свойством обладают слабо полярные
и функция 
непрерывна. Пусть 
— две точки из промежутка 
. С помощью неравенства Буняковского находим
. Из получаемой оценки следует, что функции 
отвечающие функциям и 
, где С — любое число, равностепенно непрерывны. Из неравенства
переводит любое ограниченное в 
(или даже в 
) множество функций в компактное множество непрерывных функций. Тем более получающееся семейство функций компактно в 
