71. Основные леммы.

Лемма 1. Если интеграл

где фиксированная непрерывная в промежутке функция, обращается в нуль для всякой функции непрерывной вместе со своей производной и равной нулю на концах, то тождественно равна нулю в промежутке

Доказываем от обратного. Пусть в некоторой точке внутри промежутка отлична от нуля. Например, Вследствие непрерывности будет положительной и в некотором промежутке содержащем точку внутри и лежащем внутри Определим теперь функцию следующим образом:

Построенная таким образом функция удовлетворяет всем условиям леммы. Действительно, по построению, . Произведение и его производная по обращаются в нуль при . Вне промежутка есть тождественный нуль. Отсюда вытекает непрерывность функции и ее производной во всем промежутке Принимая во внимание, что вне функция тождественный нуль, можем написать интеграл (4) в виде

откуда следует, что он имеет положительное значение, так как подынтегральная функция непрерывна и положительна внутри промежутка интегрирования. Но по условию леммы интеграл должен быть равен нулю. Это противоречие и доказывает лемму.

Приведем аналогичную лемму для двойного интеграла.

Лемма 2. Если интеграл

где фиксированная в области В непрерывная функция, обращается в нуль для всякой функции непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка в В и равной нулю на контуре I области В, то тождественно равна нулю в области В.

Положим, что в некоторой точке внутри В функция положительна. Тогда она будет положительной и в некотором круге с центром и радиусом р, лежащем внутри В. Определим следующим образом:

Нетрудно проверить, что удовлетворяет всем условиям леммы, а интеграл (6) сведется к интегралу по упомянутому кругу от непрерывной положительной функции и будет положительным, что противоречит условию леммы.

Замечание. Обе леммы останутся справедливыми, если мы наложим на функцию более тяжелые ограничения, например, потребуем, чтобы она имела непрерывные производные до некоторого порядка и чтобы на концах промежутка а в случае интеграла (6) — на контуре I, она обращалась в нуль вместе с производными до порядка Доказательство останется прежним и достаточно будет лишь, например, в формуле (5) показатель степени 2 заменить на

Отметим также, что лемма может быть легко доказана для трехкратных интегралов и вообще интегралов любой кратности.

Следующие две леммы имеют совершенно иной характер. По существу, они могут быть объединены в одну лемму, но для ясности мы разделим их на две.

Лемма 3. Если непрерывна в промежутке и

для всякой функции непрерывной вместе со своей производной в , то постоянная.

Обозначив

мы получим

и функция

удовлетворяет указанным в лемме условиям, так что

Умножая обе части (8) на с и вычитая из последнего равенства, получим

откуда

Лемма 4. Если а непрерывны в и

для всякой функции удовлетворяющей тем же условиям, что и в лемме 3, то имеет непрерывную производную .

Положив

получим, интегрируя по частям,

и равенство переписывается в виде

и в силу леммы 3